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| Aufgabe | Betrachtet wir die lineare Abbildung [mm] K:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2 [/mm] mit [mm] K(\vektor{x \\ y})=A\vektor{x \\ y}.
[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix A so, dass gilt
[mm] K(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{2 \\ 7} [/mm] und [mm] K(\vektor{1 \\ -1})=\vektor{2 \\ -2} [/mm] |
Hallo Leute,
ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz.
Durch Ausprobieren habe ich rausbekommen, dass man [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 } [/mm] mit der Inversen von [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 } [/mm] rechnen muss um auf A zu kommen, aber wieso?
Wenn ich [mm] K(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 })=A\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 } [/mm] habe, verstehe ich schon, dass mit der Inversen auf der rechten Seite die Einheitsmatrix entsteht entsprechend nur A stehenbleibt, aber ich habe doch auf der linken Seite noch ein K(..), löst sich das K einfach auf ?
Ich würde gerne verstehen wie man einen richtigen Lösungsweg hier aufschreibt.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Sa 19.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo mtr-studi!
> Betrachtet wir die lineare Abbildung
> [mm]K:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2[/mm] mit [mm]K(\vektor{x \\ y})=A\vektor{x \\ y}.[/mm]
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> Bestimmen Sie eine Matrix A so, dass gilt
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> [mm]K(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{2 \\ 7}[/mm] und [mm]K(\vektor{1 \\ -1})=\vektor{2 \\ -2}[/mm]
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> Hallo Leute,
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> ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz.
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> Durch Ausprobieren habe ich rausbekommen, dass man [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 }[/mm]
> mit der Inversen von [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm] rechnen muss
> um auf A zu kommen, aber wieso?
Was bedeutet in dem Satz "rechnen"?
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> Wenn ich [mm]K(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 })=A\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm]
> habe, verstehe ich schon, dass mit der Inversen auf der
> rechten Seite die Einheitsmatrix entsteht entsprechend nur
> A stehenbleibt, aber ich habe doch auf der linken Seite
> noch ein K(..), löst sich das K einfach auf ?
>
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> Ich würde gerne verstehen wie man einen richtigen
> Lösungsweg hier aufschreibt.
Geh von einer allgemeinen Matrix [mm]A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}[/mm] aus und rechne [mm]A\cdot\vektor{1\\ 2}=\vektor{2\\ 7}[/mm] und [mm]A\cdot\vektor{1\\ -1}=\vektor{2\\ -2}[/mm] aus. Du erhältst 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, dass du leicht lösen kannst.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 So 20.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Betrachtet wir die lineare Abbildung
> [mm]K:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2[/mm] mit [mm]K(\vektor{x \\ y})=A\vektor{x \\ y}.[/mm]
>
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> Bestimmen Sie eine Matrix A so, dass gilt
>
> [mm]K(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{2 \\ 7}[/mm] und [mm]K(\vektor{1 \\ -1})=\vektor{2 \\ -2}[/mm]
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> Hallo Leute,
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> ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz.
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> Durch Ausprobieren habe ich rausbekommen, dass man [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 }[/mm]
> mit der Inversen von [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm] rechnen muss
> um auf A zu kommen, aber wieso?
Nein! Wenn du das machst, kommst du auf [mm] $A=\frac{1}{6}*\pmat{ 3 & 0 \\ -1 & 2 }$ [/mm] und das ist falsch!
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> Wenn ich [mm]K(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 })=A\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm]
> habe, verstehe ich schon, dass mit der Inversen auf der
> rechten Seite die Einheitsmatrix entsteht entsprechend nur
> A stehenbleibt, aber ich habe doch auf der linken Seite
> noch ein K(..), löst sich das K einfach auf ?
>
[mm]K(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 })=...[/mm] kann nicht funktionieren, da K per definitionem eine Funktion ist, die auf [mm] \IR^2 [/mm] operiert. Argumente von K dürfen Zahlenpaare oder zweidimensionale Vektoren sein, aber keine 2x2 Matrizen.
Aus
[mm]K(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{2 \\ 7}[/mm]
folgt nach der Definition von K
[mm]A*\vektor{1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 7}[/mm]
und analog gilt auch
[mm]A*\vektor{1 \\ -1}=\vektor{2 \\ -2}[/mm].
Diese beiden Gleichungen kann man auch kompakt schreiben als
[mm]A*\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 }=\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm].
Nun kannst du dir leicht überlegen, wie du diese Gleichung explizit nach A auflöst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 So 20.07.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich hatte da einen Denkfehler bei der Definition und wusste nicht, dass man das überhaupt so kompakt schreiben darf.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 So 20.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Ich hatte da einen Denkfehler bei der Definition und wusste
> nicht, dass man das überhaupt so kompakt schreiben darf.
>
Das ergibt sich aus der Definition für die Matrizenmultiplikation.
Alternativ kannst du natürlich auch dem Vorschlag von Fulla näher treten und die vier Gleichungen in den Matrixelementen von A aufstellen. Je zwei bilden ein Gleichungssystem in den Zeilenelementen von A und sind auch leicht lösbar.
Gruß RMix
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