matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenLineare Abbildung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Matrices" - Lineare Abbildung
Lineare Abbildung < Matrices < Uni-LinA u. Algebra < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Lineare Abbildung: Dimensionen für inkt. surjekt.
Status: (Question) answered Status 
Date: 01:01 Mo 18/12/2017
Author: asg

Aufgabe
Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ [/mm] eine lineare Abbildung.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

1. $f$ ist surjektiv, dann $m [mm] \le [/mm] n$
2. $f$ ist injektiv, dann $m [mm] \ge [/mm] n$
3. $f$ ist ein Isomorphismus, dann $m = n$
4. $m = n$, daraus folgt nicht $f$ ist ein Isomorphismus

Hallo zusammen,

meine Lösungen dazu sind wie folgt:

$dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = n$ *

1. $f$ ist surjektiv [mm] $\Rightarrow Bild(f)=\mathbb{R}^m \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = m$ und $dim(Kern(f)) [mm] \ge [/mm] 0$.

Dann gilt nach *:

$dim(Kern(f)) + m = n [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \le [/mm] n$

2. $f$ ist injektiv [mm] $\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow [/mm] dim(Kern(f))=0$

Dann gilt nach *:
$0 + dim(Bild(f)) = n [mm] \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = n$
Aber das zeigt ja nicht $m [mm] \ge [/mm] n$! Was mache ich denn falsch?

3. $f$ ist ein Isomorphismus, d.h. $f$ ist bijektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] dim(Kern(f)) = 0$ wegen Injektivität und $Bild(f) = [mm] \mathbb{R}^m \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = m$ wegen Surjektivität.
Dann gilt nach *:
$0 + m = n [mm] \Rightarrow [/mm] m = n$

4. Sei $M(f) [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] die Nullmatrix.
Dann gilt, $f$ ist nicht injektiv, denn alle Vektoren aus dem Urbild werden auf den Nullvektor in die Bildmenge abgebildet.
Daraus folgt, $f$ ist nicht bijektiv und somit kein Isomorphismus.

Sind meine Beweise korrekt bzw. was mache ich falsch in 2.?

Dankeschön vorab für jede Hilfe.

Liebe Grüße
Asg

        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:18 Mo 18/12/2017
Author: fred97


> Sei [mm]f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/mm] eine lineare
> Abbildung.
>  
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
>  
> 1. [mm]f[/mm] ist surjektiv, dann [mm]m \le n[/mm]
>  2. [mm]f[/mm] ist injektiv, dann [mm]m \ge n[/mm]
>  
> 3. [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus, dann [mm]m = n[/mm]
>  4. [mm]m = n[/mm], daraus
> folgt nicht [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus
>  Hallo zusammen,
>  
> meine Lösungen dazu sind wie folgt:
>  
> [mm]dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = n[/mm] *
>  
> 1. [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\Rightarrow Bild(f)=\mathbb{R}^m \Rightarrow dim(Bild(f)) = m[/mm]
> und [mm]dim(Kern(f)) \ge 0[/mm].
>  
> Dann gilt nach *:
>  
> [mm]dim(Kern(f)) + m = n \Rightarrow m \le n[/mm]

Richtig


>  
> 2. [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow dim(Kern(f))=0[/mm]
>  
> Dann gilt nach *:
>  [mm]0 + dim(Bild(f)) = n \Rightarrow dim(Bild(f)) = n[/mm]
>  Aber
> das zeigt ja nicht [mm]m \ge n[/mm]!


Doch !

>  Was mache ich denn falsch?

Nichts. Du hörst nur kurz vor dem Ziel auf:

Es ist Bilf(f) [mm] \subseteq \IR^m, [/mm] also

m [mm] \ge [/mm] dim Bild(f)=n.


>  
> 3. [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus, d.h. [mm]f[/mm] ist bijektiv [mm]\Rightarrow dim(Kern(f)) = 0[/mm]
> wegen Injektivität und [mm]Bild(f) = \mathbb{R}^m \Rightarrow dim(Bild(f)) = m[/mm]
> wegen Surjektivität.
>  Dann gilt nach *:
>  [mm]0 + m = n \Rightarrow m = n[/mm]

Richtig


>  
> 4. Sei [mm]M(f) \in \mathbb{R}^{n \times n}[/mm] die Nullmatrix.
>  Dann gilt, [mm]f[/mm] ist nicht injektiv, denn alle Vektoren aus
> dem Urbild werden auf den Nullvektor in die Bildmenge
> abgebildet.
>  Daraus folgt, [mm]f[/mm] ist nicht bijektiv und somit kein
> Isomorphismus.

Gutes Beispiel !


>  
> Sind meine Beweise korrekt bzw. was mache ich falsch in
> 2.?

Siehe oben .


>  
> Dankeschön vorab für jede Hilfe.
>  
> Liebe Grüße
>  Asg


Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Danke! [GELÖST]
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 00:16 Di 19/12/2017
Author: asg

Hallo,

Dankeschön für die schnelle Hilfe.

> > 2. [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow dim(Kern(f))=0[/mm]
> >  

> > Dann gilt nach *:
>  >  [mm]0 + dim(Bild(f)) = n \Rightarrow dim(Bild(f)) = n[/mm]
>  >  
> Aber das zeigt ja nicht [mm]m \ge n[/mm]!
>
> Doch !
>
> >  Was mache ich denn falsch?

>  
> Nichts. Du hörst nur kurz vor dem Ziel auf:
>  
> Es ist Bilf(f) [mm]\subseteq \IR^m,[/mm] also
>
> m [mm]\ge[/mm] dim Bild(f)=n.

Daran hatte ich gar nicht gedacht. Danke :)

Viele Grüße
Asg

Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 3h 22m 5. HJKweseleit
UWTheo/unendlicher Würfelwurf Aufgabe
Status vor 3h 25m 10. Siebenstein
Transformationen/Dirac und Rechteck
Status vor 3h 52m 3. Gonozal_IX
UStoc/Cov(X,Y)
Status vor 9h 38m 7. fred97
UAnaRn/Kettenregel Mehrdimensional
Status vor 1d 2h 12m 2. Al-Chwarizmi
SStoc/Münze
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]