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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Mo 18.12.2017 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ [/mm] eine lineare Abbildung.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
1. $f$ ist surjektiv, dann $m [mm] \le [/mm] n$
2. $f$ ist injektiv, dann $m [mm] \ge [/mm] n$
3. $f$ ist ein Isomorphismus, dann $m = n$
4. $m = n$, daraus folgt nicht $f$ ist ein Isomorphismus |
Hallo zusammen,
meine Lösungen dazu sind wie folgt:
$dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = n$ *
1. $f$ ist surjektiv [mm] $\Rightarrow Bild(f)=\mathbb{R}^m \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = m$ und $dim(Kern(f)) [mm] \ge [/mm] 0$.
Dann gilt nach *:
$dim(Kern(f)) + m = n [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \le [/mm] n$
2. $f$ ist injektiv [mm] $\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow [/mm] dim(Kern(f))=0$
Dann gilt nach *:
$0 + dim(Bild(f)) = n [mm] \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = n$
Aber das zeigt ja nicht $m [mm] \ge [/mm] n$! Was mache ich denn falsch?
3. $f$ ist ein Isomorphismus, d.h. $f$ ist bijektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] dim(Kern(f)) = 0$ wegen Injektivität und $Bild(f) = [mm] \mathbb{R}^m \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = m$ wegen Surjektivität.
Dann gilt nach *:
$0 + m = n [mm] \Rightarrow [/mm] m = n$
4. Sei $M(f) [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] die Nullmatrix.
Dann gilt, $f$ ist nicht injektiv, denn alle Vektoren aus dem Urbild werden auf den Nullvektor in die Bildmenge abgebildet.
Daraus folgt, $f$ ist nicht bijektiv und somit kein Isomorphismus.
Sind meine Beweise korrekt bzw. was mache ich falsch in 2.?
Dankeschön vorab für jede Hilfe.
Liebe Grüße
Asg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:18 Mo 18.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/mm] eine lineare
> Abbildung.
>
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
>
> 1. [mm]f[/mm] ist surjektiv, dann [mm]m \le n[/mm]
> 2. [mm]f[/mm] ist injektiv, dann [mm]m \ge n[/mm]
>
> 3. [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus, dann [mm]m = n[/mm]
> 4. [mm]m = n[/mm], daraus
> folgt nicht [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus
> Hallo zusammen,
>
> meine Lösungen dazu sind wie folgt:
>
> [mm]dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = n[/mm] *
>
> 1. [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\Rightarrow Bild(f)=\mathbb{R}^m \Rightarrow dim(Bild(f)) = m[/mm]
> und [mm]dim(Kern(f)) \ge 0[/mm].
>
> Dann gilt nach *:
>
> [mm]dim(Kern(f)) + m = n \Rightarrow m \le n[/mm]
Richtig
>
> 2. [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow dim(Kern(f))=0[/mm]
>
> Dann gilt nach *:
> [mm]0 + dim(Bild(f)) = n \Rightarrow dim(Bild(f)) = n[/mm]
> Aber
> das zeigt ja nicht [mm]m \ge n[/mm]!
Doch !
> Was mache ich denn falsch?
Nichts. Du hörst nur kurz vor dem Ziel auf:
Es ist Bilf(f) [mm] \subseteq \IR^m, [/mm] also
m [mm] \ge [/mm] dim Bild(f)=n.
>
> 3. [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus, d.h. [mm]f[/mm] ist bijektiv [mm]\Rightarrow dim(Kern(f)) = 0[/mm]
> wegen Injektivität und [mm]Bild(f) = \mathbb{R}^m \Rightarrow dim(Bild(f)) = m[/mm]
> wegen Surjektivität.
> Dann gilt nach *:
> [mm]0 + m = n \Rightarrow m = n[/mm]
Richtig
>
> 4. Sei [mm]M(f) \in \mathbb{R}^{n \times n}[/mm] die Nullmatrix.
> Dann gilt, [mm]f[/mm] ist nicht injektiv, denn alle Vektoren aus
> dem Urbild werden auf den Nullvektor in die Bildmenge
> abgebildet.
> Daraus folgt, [mm]f[/mm] ist nicht bijektiv und somit kein
> Isomorphismus.
Gutes Beispiel !
>
> Sind meine Beweise korrekt bzw. was mache ich falsch in
> 2.?
Siehe oben .
>
> Dankeschön vorab für jede Hilfe.
>
> Liebe Grüße
> Asg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Di 19.12.2017 | | Autor: | asg |
Hallo,
Dankeschön für die schnelle Hilfe.
> > 2. [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow dim(Kern(f))=0[/mm]
> >
> > Dann gilt nach *:
> > [mm]0 + dim(Bild(f)) = n \Rightarrow dim(Bild(f)) = n[/mm]
> >
> Aber das zeigt ja nicht [mm]m \ge n[/mm]!
>
> Doch !
>
> > Was mache ich denn falsch?
>
> Nichts. Du hörst nur kurz vor dem Ziel auf:
>
> Es ist Bilf(f) [mm]\subseteq \IR^m,[/mm] also
>
> m [mm]\ge[/mm] dim Bild(f)=n.
Daran hatte ich gar nicht gedacht. Danke :)
Viele Grüße
Asg
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