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Lineare Abbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:02 Di 23.05.2006
Autor: vicky

Aufgabe
Sei V der Vektorraum der polynomialen Funktionen einer Variablen x mit reellen Koeffizienten vom maximalen Grad 3. Sei A eine Abbildung von V auf sich selbst mit (Af)(x) = xf(x) für grad(f) < 3 und Af = 0 sonst. Sei B die Abbildung Bf = [mm] \bruch{d}{dx}f. [/mm] Zeigen Sie, dass diese Abbildungen linear sind. Sind sie gleichzeitig diagonalisierbar?

Hallo zusammen,

habe bei dieser Aufgabe ein paar Probleme und hoffe das Ihr mir weiter helfen könnt.

polynomialen Funktionen vom maximalen Grad 3 sind alle

f(x) = [mm] a_{3}X^3 [/mm] + [mm] a_{2}X^2 [/mm] + [mm] a_{1}X [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] mit a [mm] \in \IR [/mm]

A = Abbildung von V auf sich selbst also
A: V [mm] \to [/mm] V
d.h. ich muß zeigen

A(f(x) + f(x)´) = A(f(x)) + A(f(x)´) und
A(  [mm] \lambda [/mm] * f(x)) =  [mm] \lambda [/mm] * A(f(x))

ist der Ansatz soweit schon richtig???
Wie gehe ich jetzt weiter vor und was hat das "(Af)(x) = xf(x) für grad(f) < 3 und Af = 0 sonst" zu bedeuten??

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Beste Grüße Vicky

        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Di 23.05.2006
Autor: baskolii

Hi Vicky!

> Sei V der Vektorraum der polynomialen Funktionen einer
> Variablen x mit reellen Koeffizienten vom maximalen Grad 3.
> Sei A eine Abbildung von V auf sich selbst mit (Af)(x) =
> xf(x) für grad(f) < 3 und Af = 0 sonst. Sei B die Abbildung
> Bf = [mm]\bruch{d}{dx}f.[/mm] Zeigen Sie, dass diese Abbildungen
> linear sind. Sind sie gleichzeitig diagonalisierbar?
>  Hallo zusammen,
>  
> habe bei dieser Aufgabe ein paar Probleme und hoffe das Ihr
> mir weiter helfen könnt.
>  
> polynomialen Funktionen vom maximalen Grad 3 sind alle
>  
> f(x) = [mm]a_{3}X^3[/mm] + [mm]a_{2}X^2[/mm] + [mm]a_{1}X[/mm] + [mm]a_{0}[/mm] mit a [mm]\in \IR[/mm]
>  
> A = Abbildung von V auf sich selbst also
>  A: V [mm]\to[/mm] V
>  d.h. ich muß zeigen
>
> A(f(x) + f(x)´) = A(f(x)) + A(f(x)´) und
>  A(  [mm]\lambda[/mm] * f(x)) =  [mm]\lambda[/mm] * A(f(x))
>  
> ist der Ansatz soweit schon richtig???

Ja, sieht gut aus.

>  Wie gehe ich jetzt weiter vor und was hat das "(Af)(x) =
> xf(x) für grad(f) < 3 und Af = 0 sonst" zu bedeuten??

Wenn du ein Polynom vom Grad 3 mit x multiplizierst erhälst du ein Polynom vom Grad 4. Das liegt dann also nicht mehr in V. Deswegen die Fallunterscheidung. Das heißt, die Polynome vom Grad 3 werden auf das Nullpolynom abgebildet und die Polynome f vom Grad 2, 1 oder 0 werden auf [mm] x\cdot{}f [/mm] abgebildet.

Mmh, vielleicht hab ich nen Knoten im Gehirn, aber die Abbildung ist doch nicht linear!
Wenn man [mm] f_1(x)=x^3+1 [/mm] und [mm] f_2(x)=-x^3+1 [/mm] wählt, dann ist [mm] A((f_1+f_2)(x))=A(2)=2x, [/mm] aber [mm] A(f_1(x))+A(f_2(x))=0+0=0. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Lineare Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 25.05.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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