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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Di 19.12.2006 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Gibt es eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to IR^{3} [/mm] mit
[mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 2} [/mm] , [mm] f(\vektor{2 \\ -1 \\ -1}) [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ 7 \\ 1} [/mm] und [mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 1} [/mm] so dass
a) f ein Isomorphismus ist?
b) f kein Isomorphismus ist? |
Wie gehe ich an diese Aufgabe ran. Ich habe eine Abbildungsmatrix ausgerechnet, die wie folgt aussieht:
[mm] \pmat{ -1 & a_{2} & 4-a_{2} \\ 4 & a_{5} & 1-a_{5} \\ 1 & a_{8} & 1-a_{8}}
[/mm]
Bringt die mich irgendwie weiter? Was muss ich jetzt machen?
Fuffi
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> Gibt es eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to IR^{3}[/mm] mit
> [mm]f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1})[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 2}[/mm] ,
> [mm]f(\vektor{2 \\ -1 \\ -1})[/mm] = [mm]\vektor{-6 \\ 7 \\ 1}[/mm] und
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\ 1})[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 1}[/mm] so dass
>
> a) f ein Isomorphismus ist?
> b) f kein Isomorphismus ist?
Hallo,
jede lineare Abbildung ist durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Du kannst feststellen, daß [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] keine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] sind.
Einer der drei Vektoren ist von den anderen beiden linear abhängig.
Ich würde mich zunächst davon überzeugen, daß der Wert auf dem abhängigen Vektor sinnvoll ist, also den Linearitätsbedingungen nicht widerspricht.
Als nächstes kannst du die beiden unabhängigen Vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.
Nun definierst Du den Wert der Funktion auf Deinem Ergänzungsvektor.
a) Kannst Du den Wert so definieren, daß das Bild die Dimension drei hat?
b) kannst Du den Wert so definieren, daß das Bild nicht die Dimension drei hat?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:07 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Fuffi |
Danke für die Antwort. Du hast mir echt weitergeholfen.
Fuffi
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