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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] \IR³ \to \IR [/mm] mit f [mm] \vektor{w1 \\ w2\\ w3} [/mm] = 8 w1 - w2 ^w3.
Es ist zu überprüfen, ob f eine lineare abbildung ist. |
Hallo!
Ich mal ne frage zu folgendem Beispiel:
Gegeben sei die Funktion f : [mm] \IR³ \to \IR [/mm] mit f [mm] \vektor{w1 \\ w2\\ w3} [/mm] = 8 w1 - w2 ^w3.
Es ist zu überprüfen, ob f eine lineare abbildung ist.
Da muss ich doch prüfen ob f (x + y) = f (x) + f (y) ist oder?
also wäre das 8 mal w1 - w2^w3 + 8z1 -z2^z3 = 8(w1+z1) - (w2 + z2)^w3+z3. aber dann komm ich nicht mehr weiter.
eigentlich dürfte es ja keine lineare abbildung sein, auf grund der hochzahl oder?
wäre sehr dankbar für lösungsvorschläge!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Do 22.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Funktion f : [mm]\IR³ \to \IR[/mm] mit f [mm]\vektor{w1 \\ w2\\ w3}[/mm]
> = 8 w1 - w2 ^w3.
> Es ist zu überprüfen, ob f eine lineare abbildung ist.
> Hallo!
>
> Ich mal ne frage zu folgendem Beispiel:
>
> Gegeben sei die Funktion f : [mm]\IR³ \to \IR[/mm] mit f [mm]\vektor{w1 \\ w2\\ w3}[/mm]
> = 8 w1 - w2 ^w3.
Du meinst [mm] f(w)=8w_{1}-w_{2}^{w_{3}}, [/mm] richtig?
> Es ist zu überprüfen, ob f eine lineare abbildung ist.
>
> Da muss ich doch prüfen ob f (x + y) = f (x) + f (y) ist
> oder?
>
Yep, unter anderem.
zusätzlich muss gelten f(cw)=c*f(w)
> also wäre das 8 mal w1 - w2^w3 + 8z1 -z2^z3 = 8(w1+z1) -
> (w2 + z2)^w3+z3.
Nein, das passt so nicht.
[mm] 8w_{1}-w_{2}^{w_{3}}+8z_{1}-z_{2}^{z_{3}}=8w_{1}z_{1}-w_{2}^{w_{3}}-z_{2}^{z_{3}}\ne8w_{1}z_{1}-(w_{2}+z_{2})^{w_{3}+z_{3}}
[/mm]
aber dann komm ich nicht mehr weiter.
Fang doch zusätzlich mal "hinten" an.
[mm] f(z+w)=8(w_{1}+z_{1})-(w_{2}+z_{2})^{w_{3}+z_{3}}
[/mm]
Und das forme mal weiter um.
>
> eigentlich dürfte es ja keine lineare abbildung sein, auf
> grund der hochzahl oder?
Die Hochzahl ist kein Hinderungsgrund für Linearität. Linearität heisst nicht, dass die Funktion eine Gerade ist. Es gibt genug Beispiele für Lineare Funktionen, die keine Gerade als Graph ergeben, gerade im mehrdimensionalen, wie hier.
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> wäre sehr dankbar für lösungsvorschläge!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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danke erstmal für deinen lösungsansatz!
nur wie geh ich dann weiter vor wenn ich "hinten" anfang?
dann hätt ich ja 8w1z1- (w2 + [mm] z2)^{w3 + z3}, [/mm] oder....irgendwie weiß ich nicht so genau, wie ich da die hochzahl multiplizieren soll bzw. hab ich glaub cih nicht so genau verstanden, wie ich beweise´, ob das eine Lineare Abbildung ist, weil ich da beim umformen glaub ich meine probleme hab....:/
danke schon mal, und tut mir leid, dass ich so auf der leitung stehe
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> nur wie geh ich dann weiter vor wenn ich "hinten" anfang?
Hallo,
Marius' Tip war nicht so begnadet in diesem Fall.
Prinzipiell wollte er wohl, daß Du die beiden Seiten vergleichst und feststellst, daß sie nicht gleich sind - im Widerspruch zu dem Gleichheitszeichen, was Du im Eingangspost stehen hast.
Mach ein Gegenbeispiel, fertig.
Gruß v. Angela
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> Gegeben sei die Funktion f : [mm]\IR³ \to \IR[/mm] mit f [mm]\vektor{w1 \\ w2\\ w3}[/mm]
> = 8 w1 - w2 ^w3.
> Es ist zu überprüfen, ob f eine lineare abbildung ist.
> Da muss ich doch prüfen ob f (x + y) = f (x) + f (y) ist
> oder?
>
> also wäre das 8 mal w1 - w2^w3 + 8z1 -z2^z3 = 8(w1+z1) -
> (w2 + z2)^w3+z3. aber dann komm ich nicht mehr weiter.
>
> eigentlich dürfte es ja keine lineare abbildung sein, auf
> grund der hochzahl oder?
Hallo,
ob es darf oder nicht ist nicht die Frage, sondern wie es ist.
Und Du ahnst richtig: das ist keine lineare Abbildung, die Hochzahl verdirbt es heir.
Das mußt Du natürlich zeigen.
Such Dir zwei Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] und zeige, daß es mit denen nicht klappt.
Dann hast Du ein Gegenbeispiel für die Linearität, also ist die Abbildung nicht linear.
Gruß v. Angela
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danke für den tipp!
kann ich da jeden x - beliebigen vektor nehmen? also z.B. (1,2,3) ? und den dann in die angabe statt w1, w2, w3 einsetzen oder hab ich das falsch verstanden?
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> danke für den tipp!
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> kann ich da jeden x - beliebigen vektor nehmen? also z.B.
> (1,2,3) ? und den dann in die angabe statt w1, w2, w3
> einsetzen oder hab ich das falsch verstanden?
Du hast das richtig verstanden - wenn Du allerdings die Sache mit der Addition widerlegen willst, brauchst Du ja zwei Vektoren zum Einsetzen.
Um eine Aussage zu widerlegen reicht ein Beispiel.
Aber nicht, daß Du irgendwann auf die Idee kommst, durch ein Beispiel beweisen zu wollen!
Gruß v. Angela
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hallo!
bräuchte glaub ich zu dem beispiel doch noch mal ein bisschen hilfe...
wäre sehr dankbar, wenn mir irgendwer erklären könnte wie ich das allgemien hinschreib um zu zeigen ob es sich bei dem ausdruck um eine lineare abbildung handelt oder nicht...ich steh nämlich an, wie ich das zusammenfassen soll bei der addition, wenn die hochzahlen doch unterschiedlich sind ;/
danke!!
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> wäre sehr dankbar, wenn mir irgendwer erklären könnte wie
> ich das allgemien hinschreib um zu zeigen ob es sich bei
> dem ausdruck um eine lineare abbildung handelt oder
> nicht...ich steh nämlich an, wie ich das zusammenfassen
> soll bei der addition, wenn die hochzahlen doch
> unterschiedlich sind ;/
>
Hallo,
wir hatten doch schon festgestellt, daß das nicht linear ist. Du brauchst nur ein einziges Gegenbeispiel.
Die Funktion war:
> f : $ [mm] \IR³ \to \IR [/mm] $ mit f $ [mm] \vektor{w_1 \\ w_2\\ w_3} [/mm] $ = 8 [mm] w_1 [/mm] - [mm] w_2 ^w_3.
[/mm]
Jetzt berechne doch mal
f ( [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 1}+ \vektor{1 \\ 1\\ 1})=...
[/mm]
und vergleich es mit
f ( [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 1})+ [/mm] f ( [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 1})=...
[/mm]
Wenn's nicht gleich ist, ist die Linearität der Abbildung widerlegt.
Gruß v. Angela
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