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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mo 07.09.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^3 \mapsto \IR^3 [/mm] gegeben durch [mm] f(x)=A_b [/mm] *x
Wie lautet [mm] M^a_a(f) [/mm] für die Basis a = [mm] (\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_3},\overrightarrow{-e_2})
[/mm]
[mm] A_b=\pmat{ 1 & b & -1\\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1} [/mm] |
Hallo.
Es gilt doch: Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren... oder?
Wenn ich das also richtig verstehe dann muss ich drei Gleichungssysteme lösen:
[mm] \vektor{1 \\ -1\\ 2}=\alpha(\overrightarrow{e_1})\beta(\overrightarrow{e_3})\gamma(\overrightarrow{-e_2})
[/mm]
[mm] \vektor{b \\ 1\\ -1}=\delta(\overrightarrow{e_1})\epsilon(\overrightarrow{e_3})\zeta(\overrightarrow{-e_2})
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ -1\\ 1}=\eta(\overrightarrow{e_1})\theta(\overrightarrow{e_3})\kappa(\overrightarrow{-e_2})
[/mm]
..und bekomme dann meine Darstellungsmatrix:
[mm] M^a_a(f)=\pmat{ \alpha & \beta & \gamma\\ \delta & \epsilon & \zeta \\ \eta & \theta & \kappa}^T
[/mm]
??
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Hallo!
Bei solch einer Basistransformation musst du darauf achten, dass aus der "normalen" Matrix / Abbildung, die Vektoren auf Basis der Standardbasis zuordnet, eine neue Matrix / Abbildung wird, die im Grunde genau dasselbe erledigt, nur auf Basis der neuen Basis.
D.h., wenn ich zum Beispiel den Koordinatenvektor [mm] x=\vektor{1\\0\\0}_{B} [/mm] der Basis B in die Abbildung f = A*x reinstecke, kommt auch ein Koordinatenvektor y = [mm] \vektor{1\\-1\\2}_{B} [/mm] der Standardbasis B raus.
Bei der neuen Matrix muss dann, wenn ich den Koordinatenvektor [mm] x=\vektor{0\\0\\1}_{B}=\vektor{0\\1\\0}_{a} [/mm] der Basis a reinstecke, auch ein Koordinatenvektor $y = [mm] \vektor{-1\\1\\1}_{a} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\-1\\1}_{B}$ [/mm] der Basis a rauskommen, der aber, wenn ich ihn wieder in einen Koordinatenvektor der Standardbasis B umwandle, das korrekte Ergebnis liefern muss.
Das kannst du zur Kontrolle anwenden, ob du alles richtig gemacht hast.
Praktisch gehst du so vor. Wir nennen die alte Basis wie schon oben eingeführt B = [mm] (e_{1},e_{2},e_{3}), [/mm] die neue Basis a = [mm] (a_{1},a_{2},a_{3}). [/mm] Nun bestimmen wir zunächst, welche Bilder die Basisvektoren der Basis a bezgl. der Standardbasis haben, wenn wir sie in f=A*x reinstecken.
[mm] f(a_{1}) [/mm] = ...
[mm] f(a_{2}) [/mm] = ...
[mm] f(a_{3}) [/mm] = ...
Die entstandenen Koordinatenvektoren bezgl. der Basis B wandelst du nun in Koordinatenvektoren der Basis a um. Dann bist du auch schon fast fertig, denn diese Vektoren bilden deine neue Matrix.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir erledigen sozusagen alles, was die Matrix später leisten muss, bauen sie uns sozusagen zurecht.
Grüße, Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 08.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Hallo.
In diesem Fall ist doch [mm] M^a_a(f)=\pmat{ 1 & 1 & -b \\ -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1}
[/mm]
oder?
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> Hallo.
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> In diesem Fall ist doch [mm]M^a_a(f)=\pmat{ 1 & 1 & -b \\ -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1}[/mm]
>
> oder?
Hallo,
ich nehme an, daß Du Dich bloß vertippt hast:
[mm] \pmat{ 1 & \red{-}1 & -b \\ -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1} [/mm] wäre richtig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Mi 09.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ja, es war ein Vertipper :(
Vielen Dank für Deine Hilfe.
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