Lineare Abbildung - Kern&Bild < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Es ist eine lineare Abbildung L gegeben durch diese Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0}
[/mm]
Gesucht ist der Kern von L und es ist zu zeigen, dass
Bild L = [mm] \{a1* \vektor{1\\1\\-1} + a2* \vektor{1\\0\\-3} | a1,a2 \in \IR \}
[/mm]
Nun ich wäre zwar selber auch auf das Ergebnis für das Bild L gekommen, da es die beiden linear unabhängigen Spaltenvektoren sind, aber was muss ich formell tun, um dies zu "zeigen"??
Was den Kern L betrifft habe ich einfach
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0}* \vektor{x1 \\ x2\\x3} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] gerechnet und herausbekommen:
Kern L = [mm] \{a* \vektor{3\\-2\\1}| a\in \IR \}
[/mm]
Wäre sehr schön, wenn mir jemand sagen könnte, ob letzteres richtig gerechnet und auch formell so richtig ist und wie ich das obige nun "zeige"
Danke
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Hi!
Der Kern ist richtig.
Um zu zeigen, ob die angegebene Menge wirklich das Bild ist, würde ich einfach das Bild berechnen und überprüfen, ob die Mengen übereinstimmen.
mfg Verena
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Und wie berechne ich das Bild? Ich meine in gewisser Weile "sehe" ich es ja... aber die Rechnung kann noch nicht nur sein, dass ich die Spalten so umforme, dass (in diesem falle) die zwei linear unabhängigen Spalten übrig bleiben!??? Oder doch?
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Wie gesagt, ich würde es einfach berechnen:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 }x= \vektor{x_2+2x_3 \\ -x_1+3x_3\\-2x_1-3x_2}=\vektor{(-x_1+3x_3)+(x_2-x_3+x_1) \\ -x_1+3x_3\\-(-x_1+3x_3)-3(x_2-x_3+x_1)}= \vektor{a_1+a_2 \\ a_1 \\ -a_1-3a_2}=a_1 \vektor{1 \\ 1 \\ -1}+a_2 \vektor{1 \\ 0 \\ -3}, [/mm] mit [mm] a_1=-x_1+3x_3, a_2=x_2-x_3+x_1
[/mm]
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