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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Karander |
| Aufgabe | Sei [mm] F: \IR^2 \rightarrow \IR^2 [/mm] lin. Abb. mit Basen [mm] A=({1 \choose 1},{0 \choose 1}) [/mm] und [mm] B=({-1 \choose -1},{1 \choose 0}) [/mm] bzgl. der Darstellungsmatrix [mm] M^A_B(F)=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
-2 & -1
\end{pmatrix} [/mm]
Bestimmen Sie F. |
Also ich bin bei F(1,1)=(-1,1) und F(0,1)=(-1,0) angelangt und durch einfaches Beobachten könnte ich jtzt sagen, dass die Lösung lautet F(x,y)=(-y,x) aber ich würde gerne wissen wie das rechnerich lösbar ist. Kann mir da kurz jeman aushelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Sa 05.02.2011 | | Autor: | frozer |
> Sei [mm]F: \IR^2 \rightarrow \IR^2[/mm] lin. Abb. mit Basen [mm]A=({1 \choose 1},{0 \choose 1})[/mm]
> und [mm]B=({-1 \choose -1},{1 \choose 0})[/mm] bzgl. der
> Darstellungsmatrix [mm]M^A_B(F)=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
-2 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
> Bestimmen Sie F.
> Also ich bin bei F(1,1)=(-1,1) und F(0,1)=(-1,0) angelangt
> und durch einfaches Beobachten könnte ich jtzt sagen, dass
> die Lösung lautet F(x,y)=(-y,x) aber ich würde gerne
> wissen wie das rechnerich lösbar ist. Kann mir da kurz
> jeman aushelfen?
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hi,
ich find das hier eingentlich am sinnvollsten sich einzuprägen:
[Externes Bild http://img534.imageshack.us/img534/8343/bildschirmfotoma.png]
am Anfang ist das vll etwas verwirrend aber mit ein wenig Zusatzinformationen sollte es sich von selbst erklären....
L ist deine eigentliche Funktion die vom Vektorraum V nach W abbildet (unterschiedliche Vektorräume möglich/gleiche also z.b. [mm] $L:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^3$)
[/mm]
[mm] K_{B_x} [/mm] ist deine darstellende Matrix zur Basis x.
Also zur Basis 1 wäre dies z.b. [mm] K_{B_1}
[/mm]
deine darstellen Matrix von Basis 1 nach Basis 2 wäre hier S.
um jetzt F zu bestimmen fehlt glaub icha ber noch irgendwie etwas....
ansonsten immer das gleiche Schema du versucht ja in der Grafik L darzustellen, das könntest du auch machen, indem du z.b. die Elemente aus V mit einer basis darstellst dann die Abildungsmatrix der jeweiligen Basis mit dem vorherigen ergebnis multiplizierst und dann die inverse deiner Basis-Abbildung
einfach ausgedrückt:
nehmen Element aus V. wende Kb1 darauf an. Wende darauf die darstellende Matrix Lb1 an. Berechne Inverse von Kb1. Wende diese Inverse auf das Ergebnis der darstellenden Matrix Lb1 an. Somit bist du in W.
Dies ist ein Beispiel weg es gibt zich andere.....
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> Sei [mm]F: \IR^2 \rightarrow \IR^2[/mm] lin. Abb. mit Basen [mm]A=(a_1:={1 \choose 1},a_2:={0 \choose 1})[/mm]
> und [mm]B=(b_1:={-1 \choose -1},b_2:={1 \choose 0})[/mm] bzgl. der
> Darstellungsmatrix [mm]M^A_B(F)=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\
-2 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
> Bestimmen Sie F.
> Also ich bin bei F(1,1)=(-1,1) und F(0,1)=(-1,0) angelangt
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube, Du hast nocht nicht verstanden, was mit [mm] M^A_B(F) [/mm] gemeint ist:
diese Matrix liefert Dir für Vektoren, die in Koordinaten bzgl. A gegeben sind, deren Bild, also den Funktionswert unter F, in Koordinaten bzgl B.
Beispiel: wenn ich wissen möchte, was [mm] F(5a_1+7a_2) [/mm] ist, dann notiere ich zuerst den Koordinatenvektor von [mm] 5a_1+7a_2 [/mm] bzgl A:
[mm] 5a_1+7a_2=\vektor{5\\7}_{(A)},
[/mm]
multipliziere Ihn mit [mm] M^A_B(F):
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\
-2 & -1 \end{pmatrix}*\vektor{5\\7}=\vektor{-5\\-17},
[/mm]
und bedenke, daß das Ergebnis ein Koordinatenvektor bzgl B:
[mm] F(5a_1+7a_2)=-5b_1-17b_2.
[/mm]
Du interessierst Dich nun für die Bilder der Standardbasisvektoren [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2.
[/mm]
Du findest sie, indem Du die [mm] e_i [/mm] zuerst als Linearkombination bzgl der [mm] a_i [/mm] schreibst, und dann wie geschildert ihrer Bilder bestimmst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Karander |
Also das würde dann bezüglich dieses Beispiels sein
[mm] {-1 \choose -3} [/mm] für [mm]e_1[/mm] ([mm]a_1-a_2[/mm] und mit der Matrix multipliziert ) und
[mm] {0 \choose 1} [/mm] für [mm]e_2[/mm] ([mm]a_2[/mm] mit der Matrix multipliziert )
das müssten dann die Bilder von [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm] bzgl. B sein. Falls ja, wie briengt es mich näher an F? Ich versuche ja etwas in der Richtung von F(x,y) [mm] \rightarrow[/mm] (x², 2(x-y)) zu bekommen ( nur als Bsp. )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 05.02.2011 | | Autor: | pyw |
> Also das würde dann bezüglich dieses Beispiels sein
>
> [mm]{-1 \choose -3}[/mm] für [mm]e_1[/mm] ([mm]a_1-a_2[/mm] und mit der Matrix multipliziert )
Nach meiner Rechnung kommt hier [mm] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\vektor{1 \\ -1}= \vektor{-1 \\ -1} [/mm] raus.
> und [mm]{0 \choose 1}[/mm] für [mm]e_2[/mm] ([mm]a_2[/mm] mit der Matrix multipliziert )
> das müssten dann die Bilder von [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm] bzgl. B sein.
> Falls ja, wie briengt es mich näher an F? Ich versuche ja
> etwas in der Richtung von F(x,y) [mm]\rightarrow[/mm] (x², 2(x-y))
> zu bekommen ( nur als Bsp. )
Du kennst nun die Bilder der Standardbasisvektoren unter F. Alle anderen ergeben sich aus der Linearitätseigenschaft. Setze dazu etwa [mm] F(x\cdot e_1+y\cdot e_2)=\ldots
[/mm]
Gruß, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Karander |
Stimmt, hab mich verrechnet^^
Danke jetzt hab ich es verstanden :)
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