Lineare Abbildung beweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 So 24.10.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass jede Matrix [mm] A\in K^{(m,n)} [/mm] eine lineare Abbildung definiert durch:
[mm] A:K^{n} [/mm] --> [mm] K^{m}, [/mm] x --> A*x
ist. |
Hallo zusammen.
Als Tipp steht bei der Aufgabe, man soll zwei Axiome nachweisen:
(L1) f(u+v) = f(u)+f(v)
(L2) [mm] f(\alpha*u) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * f(u)
Oder zusammengefasst:
[mm] f(\alpha*u+\beta*v) [/mm] = [mm] \alpha*f(u)+\beta*f(v)
[/mm]
Ich hab auch leider die Vorlesung zu dem Thema verpasst weil ich krank war, und versteh nun nicht wirklich, was hier gefragt ist.
Ich versteh hier nicht einmal wirklich, was das ganze überhaupt bedeutet, mal abgesehen von der Matrix mit den Zeilen/spalten m bzw. n
Ich hab auch schon mehrere andere Leute gefragt, aber irgendwie kommt da keiner so recht weiter...
LG
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> Zeigen sie, dass jede Matrix [mm]A\in K^{(m,n)}[/mm] eine lineare
> Abbildung definiert durch:
>
> [mm]A:K^{n}[/mm] --> [mm]K^{m},[/mm] x --> A*x
>
> ist.
Hallo,
ich hoffe, daß es nicht wortwörtlich so auf dem Zettel steht, denn daß die Abbildung und die Matrix mit demselben Buchstaben bezeichnet werden, ist etwas häßlich.
Ich fomuliere das mal etwas um in der Hoffnung, die Verständlichkeit zu steigern.
Zeige, daß jede Matrix [mm] $A\in K^{(m,n)}$ [/mm] eine lineare Abbildung [mm] f_A [/mm] definiert durch:
[mm] $f_A:K^{n}$ \to $K^{m},
[/mm]
$ x [mm] \mapsto [/mm] A*x
> Als Tipp steht bei der Aufgabe, man soll zwei Axiome
> nachweisen:
>
> (L1) f(u+v) = f(u)+f(v)
>
> (L2) [mm]f(\alpha*u)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] * f(u)
>
> Oder zusammengefasst:
>
> [mm]f(\alpha*u+\beta*v)[/mm] = [mm]\alpha*f(u)+\beta*f(v)[/mm]
Ja, das sind die Linearitätsbedingungen.
>
>
>
> Ich hab auch leider die Vorlesung zu dem Thema verpasst
> weil ich krank war, und versteh nun nicht wirklich, was
> hier gefragt ist.
> Ich versteh hier nicht einmal wirklich, was das ganze
> überhaupt bedeutet, mal abgesehen von der Matrix mit den
> Zeilen/spalten m bzw. n
Ich mache mir für Dinge, die ich nicht gut verstehe, immer gern ein Beispiel.
Sei [mm] A:=\pmat{1&2&3\\4&5&6}.
[/mm]
In der Aufgabe wird nun behauptet, daß
man mit
[mm] f_A(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}):=\pmat{1&2&3\\4&5&6}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] eine lineare Abbildung definiert hat, welche aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] abbildet.
"aus dem [mm] \IR^3" [/mm] dürfte klar sein, "in den [mm] \IR^2" [/mm] kannst Du Dir anhand dessen, was Du über die Mutiplikation von Matrizen weißt, erobern,
und die Linearität für [mm] f_A [/mm] mußt Du nachrechnen.
Dabei kannst Du Dir Eigenschaften der Multplikation von Matrizen zunutze machen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 So 24.10.2010 | | Autor: | Krone |
>
> > Zeigen sie, dass jede Matrix [mm]A\in K^{(m,n)}[/mm] eine lineare
> > Abbildung definiert durch:
> >
> > [mm]A:K^{n}[/mm] --> [mm]K^{m},[/mm] x --> A*x
> >
> > ist.
>
> Hallo,
>
> ich hoffe, daß es nicht wortwörtlich so auf dem Zettel
> steht, denn daß die Abbildung und die Matrix mit demselben
> Buchstaben bezeichnet werden, ist etwas häßlich.
>
> Ich fomuliere das mal etwas um in der Hoffnung, die
> Verständlichkeit zu steigern.
>
> Zeige, daß jede Matrix [mm]A\in K^{(m,n)}[/mm] eine lineare
> Abbildung [mm]f_A[/mm] definiert durch:
> [mm]$f_A:K^{n}$ \to $K^{m},[/mm]
> $ x [mm]\mapsto[/mm] A*x
Doch, es stand wirklich so auf dem Zettel :)
> Ich mache mir für Dinge, die ich nicht gut verstehe, immer
> gern ein Beispiel.
>
> Sei [mm]A:=\pmat{1&2&3\\4&5&6}.[/mm]
> In der Aufgabe wird nun behauptet, daß
> man mit
>
> [mm]f_A(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}):=\pmat{1&2&3\\4&5&6}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm]
> eine lineare Abbildung definiert hat, welche aus dem [mm]\IR^3[/mm]
> in den [mm]\IR^2[/mm] abbildet.
>
> "aus dem [mm]\IR^3"[/mm] dürfte klar sein, "in den [mm]\IR^2"[/mm] kannst Du
> Dir anhand dessen, was Du über die Mutiplikation von
> Matrizen weißt, erobern,
> und die Linearität für [mm]f_A[/mm] mußt Du nachrechnen.
> Dabei kannst Du Dir Eigenschaften der Multplikation von
> Matrizen zunutze machen.
ja, mit der Multiplikation der Matrizen hab ich verstanden. Also auch, dass es in [mm] \IR^{2} [/mm] abgebildet wird.
Wie ich die Linearität nachrechne, und was es mit den Axiomen auf sich hat, versteh ich allerdings noch nicht ...
>
> Gruß v. Angela
>
>
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Es gibt zwei Möglichkeiten die ich kenne. Entweder man hat in der Vorlesung Gesetze über Matrizen wie [mm]A*(x+y)=?[/mm] schon gehabt oder man muss es zu Fuß über die ![[]](/images/popup.gif) Summenschreiweise durchrechnen. Wobei ich eher für das zeite plädieren würde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | Untersuchen sie, ob folgende Abbildungen [mm] (\IR-)linear [/mm] sind. Weisen sie also (L1) und (L2) nach oder geben Sie ein konkretes(!) Gegenbeispiel an:
[mm] f:\IR^{3} [/mm] --> [mm] \IR^{2} [/mm] mit f [mm] (\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}) [/mm] = [mm] \pmat{ 4x_{1} & -x_{2} & -2x_{3} \\ x_{1} & 2x_{3} } [/mm] |
Also den allgemeinen Beweis versteh ich weiterhin nicht, ich hab aber auch eine konkrete Beispielaufgabe, vielleicht kann mir das jemand hieran besser erklären ...
Bin auch hier ziemlich ratlos...
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> Untersuchen sie, ob folgende Abbildungen [mm](\IR-)linear[/mm] sind.
> Weisen sie also (L1) und (L2) nach oder geben Sie ein
> konkretes(!) Gegenbeispiel an:
>
> [mm]f:\IR^{3}[/mm] --> [mm]\IR^{2}[/mm] mit f [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}})[/mm]
> = [mm]\pmat{ 4x_{1} & -x_{2} & -2x_{3} \\
x_{1} & 2x_{3} }[/mm]
>
> Also den allgemeinen Beweis versteh ich weiterhin nicht,
> ich hab aber auch eine konkrete Beispielaufgabe, vielleicht
> kann mir das jemand hieran besser erklären ...
> Bin auch hier ziemlich ratlos...
Fang doch einfach an folgendes auszurechnen:
f(m) und f(n) und f(n+m).
Du weißt wie man Matrizen addiert? Un dann vergeleichst du f(m)+f(n) und f(n+m). Sind beide gleich, dann spricht nichts gegen das erste Axiom.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
>
> > Untersuchen sie, ob folgende Abbildungen [mm](\IR-)linear[/mm] sind.
> > Weisen sie also (L1) und (L2) nach oder geben Sie ein
> > konkretes(!) Gegenbeispiel an:
> >
> > [mm]f:\IR^{3}[/mm] --> [mm]\IR^{2}[/mm] mit f [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}})[/mm]
> > = [mm]\pmat{ 4x_{1} & -x_{2} & -2x_{3} \\
x_{1} & 2x_{3} }[/mm]
>
> >
> > Also den allgemeinen Beweis versteh ich weiterhin nicht,
> > ich hab aber auch eine konkrete Beispielaufgabe, vielleicht
> > kann mir das jemand hieran besser erklären ...
> > Bin auch hier ziemlich ratlos...
>
> Fang doch einfach an folgendes auszurechnen:
> f(m) und f(n) und f(n+m).
> Du weißt wie man Matrizen addiert? Un dann vergeleichst du
> f(m)+f(n) und f(n+m). Sind beide gleich, dann spricht
> nichts gegen das erste Axiom.
>
>
Ja, das ist mir klar...
Nur weiss ich nicht mal was f(m) bzw. f(n) ist ...
ich hab in der Aufgabe doch nur eine Matrix stehen und einen Vektor ... wo krieg ich denn da 2 Matritzen her die addieren kann?
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> >
> > > Untersuchen sie, ob folgende Abbildungen [mm](\IR-)linear[/mm] sind.
> > > Weisen sie also (L1) und (L2) nach oder geben Sie ein
> > > konkretes(!) Gegenbeispiel an:
> > >
> > > [mm]f:\IR^{3}[/mm] --> [mm]\IR^{2}[/mm] mit f [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}})[/mm]
> > > = [mm]\pmat{ 4x_{1} & -x_{2} & -2x_{3} \\
x_{1} & 2x_{3} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also den allgemeinen Beweis versteh ich weiterhin nicht,
> > > ich hab aber auch eine konkrete Beispielaufgabe, vielleicht
> > > kann mir das jemand hieran besser erklären ...
> > > Bin auch hier ziemlich ratlos...
> >
> > Fang doch einfach an folgendes auszurechnen:
> > f(m) und f(n) und f(n+m).
> > Du weißt wie man Matrizen addiert? Un dann vergeleichst du
> > f(m)+f(n) und f(n+m). Sind beide gleich, dann spricht
> > nichts gegen das erste Axiom.
> >
> >
>
> Ja, das ist mir klar...
> Nur weiss ich nicht mal was f(m) bzw. f(n) ist ...
> ich hab in der Aufgabe doch nur eine Matrix stehen und
> einen Vektor ... wo krieg ich denn da 2 Matritzen her die
> addieren kann?
[mm]m,n\in \IR^n[/mm]
[mm]f(n)=f(n_1,n_2,n_3)=\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }=:N[/mm]
[mm]f(m)=f(m_1,m_2,m_3)=\pmat{ 4m_{1} & -m_{2} & -2m_{3} \\
m_{1} & 2m_{3} }=:M[/mm]
[mm]f(n+m)=f(n_1+m_1,n_2+m_2,n_3+m_3)=\pmat{ 4(n_{1}+m_{1}) & -(n_{2}+m_{2}) & -2(n_{3}+m_{3}) \\
n_{1}+m_{1} & 2(n_{3}+m_{3}) }=K[/mm]
Vergleiche nun N+M mit K.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:44 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
> [mm]m,n\in \IR^n[/mm]
>
> [mm]f(n)=f(n_1,n_2,n_3)=\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }=:N[/mm]
>
> [mm]f(m)=f(m_1,m_2,m_3)=\pmat{ 4m_{1} & -m_{2} & -2m_{3} \\
m_{1} & 2m_{3} }=:M[/mm]
>
> [mm]f(n+m)=f(n_1+m_1,n_2+m_2,n_3+m_3)=\pmat{ 4(n_{1}+m_{1}) & -(n_{2}+m_{2}) & -2(n_{3}+m_{3}) \\
n_{1}+m_{1} & 2(n_{3}+m_{3}) }=K[/mm]
>
> Vergleiche nun N+M mit K.
>
>
Aaah, langsam dämmerts ;)
Also ist in dem Fall das Axiom ja erfüllt...
Ich hab noch ein anderes Beispiel:
[mm] g:\IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR^{3} [/mm] mit g [mm] (\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 3x_{1} & -2x_{2} \\ 2 \\ 4x_{1} & x_{2} }
[/mm]
In diesem Fall wäre es dann nicht erfüllt, weil bei der Addition von m und n aus der 2 in der MAtrix ja eine 4 würde und es somit ungleich K wäre. Richtig?
Dann wär ja noch das andere Axiom: (L2) [mm] f(\alpha*u) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] *f(u)
Jetzt auf den ersten Blick würde ich sagen (ich bin jetzt wieder bei der ersten Aufgabe, bei der du mir grade geholfen hast) dass auch das erfüllt ist, weil aus
[mm] \pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} } [/mm] würde ja dann nur vor jedes Element in der Matrix ein [mm] \alpha* [/mm] stehen ...
und das ist ja dasselbe als wenn ich das [mm] \alpha [/mm] vor die Matrix setze ...
Aber dann würde das Axiom ja bei JEDER Matrix gelten oder? Daher kann meine Überlegung ja irgendwo nicht stimmen ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mo 25.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > [mm]m,n\in \IR^n[/mm]
> >
> > [mm]f(n)=f(n_1,n_2,n_3)=\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }=:N[/mm]
>
> >
> > [mm]f(m)=f(m_1,m_2,m_3)=\pmat{ 4m_{1} & -m_{2} & -2m_{3} \\
m_{1} & 2m_{3} }=:M[/mm]
>
> >
> > [mm]f(n+m)=f(n_1+m_1,n_2+m_2,n_3+m_3)=\pmat{ 4(n_{1}+m_{1}) & -(n_{2}+m_{2}) & -2(n_{3}+m_{3}) \\
n_{1}+m_{1} & 2(n_{3}+m_{3}) }=K[/mm]
>
> >
> > Vergleiche nun N+M mit K.
> >
> >
>
> Aaah, langsam dämmerts ;)
> Also ist in dem Fall das Axiom ja erfüllt...
> Ich hab noch ein anderes Beispiel:
>
> [mm]g:\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR^{3}[/mm] mit g [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 3x_{1} & -2x_{2} \\
2 \\
4x_{1} & x_{2} }[/mm]
>
> In diesem Fall wäre es dann nicht erfüllt, weil bei der
> Addition von m und n aus der 2 in der MAtrix ja eine 4
> würde und es somit ungleich K wäre. Richtig?
Mach das doch mal konkret. Schreibe mal die Matrizen zu f(m), f(n) und f(m+n) auf, und zeige, dass da die 4 steht.
>
> Dann wär ja noch das andere Axiom: (L2) [mm]f(\alpha*u)[/mm] =
> [mm]\alpha[/mm] *f(u)
> Jetzt auf den ersten Blick würde ich sagen (ich bin jetzt
> wieder bei der ersten Aufgabe, bei der du mir grade
> geholfen hast) dass auch das erfüllt ist, weil aus
>
> [mm]\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }[/mm]
> würde ja dann nur vor jedes Element in der Matrix ein
> [mm]\alpha*[/mm] stehen ...
> und das ist ja dasselbe als wenn ich das [mm]\alpha[/mm] vor die
> Matrix setze ...
Kann sein. Aber mach das mal konkret. Und begünde evtl, welche Rechenregeln du nutzt.
> Aber dann würde das Axiom ja bei JEDER Matrix gelten
> oder? Daher kann meine Überlegung ja irgendwo nicht
> stimmen ...
Wieso? Was genau meinst du mit "jeder Matrix".
Nimm als weiteres Übungsbeispiel mal
[mm] f:\IR^{3}\to\IR
[/mm]
[mm] \vektor{x\\y\\z}\mapsto(xy+z)^{2}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
noch ein anderes Beispiel:
> >
> > [mm]g:\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR^{3}[/mm] mit g [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm] =
> > [mm]\pmat{ 3x_{1} & -2x_{2} \\
2 \\
4x_{1} & x_{2} }[/mm]
> >
> > In diesem Fall wäre es dann nicht erfüllt, weil bei der
> > Addition von m und n aus der 2 in der MAtrix ja eine 4
> > würde und es somit ungleich K wäre. Richtig?
>
> Mach das doch mal konkret. Schreibe mal die Matrizen zu
> f(m), f(n) und f(m+n) auf, und zeige, dass da die 4
> steht.
Okay, also:
f(m)= [mm] \pmat{ 3m_{1} & -2m_{2} \\
2 \\
4m_{1} & m_{2} }
[/mm]
f(n) = [mm] \pmat{ 3n_{1} & -2n_{2} \\
2 \\
4n_{1} & n_{2} }
[/mm]
f(m+n)= [mm] \pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
4 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }
[/mm]
>
Dadurch ist ja in der "Mitte" die 4, die sich durch das Addieren der zwei 2en ergibt.
und dadurch ist das ganze ungleich K. So richtig?
> >
> > Dann wär ja noch das andere Axiom: (L2) [mm]f(\alpha*u)[/mm] =
> > [mm]\alpha[/mm] *f(u)
> > Jetzt auf den ersten Blick würde ich sagen (ich bin
> jetzt
> > wieder bei der ersten Aufgabe, bei der du mir grade
> > geholfen hast) dass auch das erfüllt ist, weil aus
> >
> > [mm]\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }[/mm]
> > würde ja dann nur vor jedes Element in der Matrix ein
> > [mm]\alpha*[/mm] stehen ...
> > und das ist ja dasselbe als wenn ich das [mm]\alpha[/mm] vor die
> > Matrix setze ...
>
> Kann sein. Aber mach das mal konkret. Und begünde evtl,
> welche Rechenregeln du nutzt.
>
Naja also:
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} } [/mm] = [mm] \pmat{ \alpha*4n_{1} & \alpha*-n_{2} & \alpha*-2n_{3} \\
\alpha*n_{1} & \alpha*2n_{3} }
[/mm]
Richtig?
Das ist ja die Skalarmultiplikation bei Matritzen.
Und deswegen mein ich, dass das bei "jeder Matrix" gilt, kann mir im moment nicht vorstellen, wo das nicht gehen sollte ...
> > Aber dann würde das Axiom ja bei JEDER Matrix gelten
> > oder? Daher kann meine Überlegung ja irgendwo nicht
> > stimmen ...
>
> Wieso? Was genau meinst du mit "jeder Matrix".
>
> Nimm als weiteres Übungsbeispiel mal
>
> [mm]f:\IR^{3}\to\IR[/mm]
> [mm]\vektor{x\\y\\z}\mapsto(xy+z)^{2}[/mm]
>
> Marius
>
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Hallo Krone,
> noch ein anderes Beispiel:
> > >
> > > [mm]g:\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR^{3}[/mm] mit g [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm] =
> > > [mm]\pmat{ 3x_{1} & -2x_{2} \\
2 \\
4x_{1} & x_{2} }[/mm]
> >
> >
> > > In diesem Fall wäre es dann nicht erfüllt, weil bei der
> > > Addition von m und n aus der 2 in der MAtrix ja eine 4
> > > würde und es somit ungleich K wäre. Richtig?
> >
> > Mach das doch mal konkret. Schreibe mal die Matrizen zu
> > f(m), f(n) und f(m+n) auf, und zeige, dass da die 4
> > steht.
>
> Okay, also:
>
> f(m)= [mm]\pmat{ 3m_{1} & -2m_{2} \\
2 \\
4m_{1} & m_{2} }[/mm]
>
> f(n) = [mm]\pmat{ 3n_{1} & -2n_{2} \\
2 \\
4n_{1} & n_{2} }[/mm]
>
> f(m+n)= [mm]\pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
4 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt nicht, im Eintrag [mm]2,1[/mm] muss eine 2 stehen.
Die Matrix, die da oben steht ist [mm]f(m)+f(n)[/mm]
Aber du weigerst dich ja, mal eine komplette Rechnung am Stück konkret hinzuschreiben und bist nur bereit, nach mehrfachem Anfragen bröckchenweise was hinzuschmeißen.
Wie soll man so korrigieren oder helfen können?
Nun ja, Fazit ist, dass die obige Abb. nicht linear ist!
>
> >
>
> Dadurch ist ja in der "Mitte" die 4, die sich durch das
> Addieren der zwei 2en ergibt.
> und dadurch ist das ganze ungleich K. So richtig?
>
> > >
> > > Dann wär ja noch das andere Axiom: (L2) [mm]f(\alpha*u)[/mm] =
> > > [mm]\alpha[/mm] *f(u)
> > > Jetzt auf den ersten Blick würde ich sagen (ich bin
> > jetzt
> > > wieder bei der ersten Aufgabe, bei der du mir grade
> > > geholfen hast) dass auch das erfüllt ist, weil aus
> > >
> > > [mm]\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }[/mm]
> > > würde ja dann nur vor jedes Element in der Matrix ein
> > > [mm]\alpha*[/mm] stehen ...
> > > und das ist ja dasselbe als wenn ich das [mm]\alpha[/mm] vor
> die
> > > Matrix setze ...
> >
> > Kann sein. Aber mach das mal konkret. Und begünde evtl,
> > welche Rechenregeln du nutzt.
> >
>
> Naja also:
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ \alpha*4n_{1} & \alpha*\red{(}-n_{2}\red{)} & \alpha*\red{(}-2n_{3}\red{)} \\
\alpha*n_{1} & \alpha*2n_{3} }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ok, das ist [mm]\alpha\cdot{}f(u)[/mm]
Wie lautet [mm]f(\alpha\cdot{}u)[/mm] ?
>
> Richtig?
> Das ist ja die Skalarmultiplikation bei Matritzen.
Ja!
> Und deswegen mein ich, dass das bei "jeder Matrix" gilt,
> kann mir im moment nicht vorstellen, wo das nicht gehen
> sollte ...
Ich habe die andere Seite der zu zeigenden Gleichung noch nicht gesehen, poste es KOMOPLETT!!!!!
Wenn du das hast und beide Seiten übereinstimmen, wenn also [mm]\alpha\cdot{}f(u)=f(\alpha\cdot{}u)[/mm] ist, so gilt das für jede Matrix, weil du die Einträge in [mm]u[/mm] bel. genommen hast.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
> > Okay, also:
> >
> > f(m)= [mm]\pmat{ 3m_{1} & -2m_{2} \\
2 \\
4m_{1} & m_{2} }[/mm]
>
> >
> > f(n) = [mm]\pmat{ 3n_{1} & -2n_{2} \\
2 \\
4n_{1} & n_{2} }[/mm]
>
> >
> > f(m+n)= [mm]\pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
4 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }[/mm]
>
>
> Das stimmt nicht, im Eintrag [mm]2,1[/mm] muss eine 2 stehen.
>
> Die Matrix, die da oben steht ist [mm]f(m)+f(n)[/mm]
>
> Aber du weigerst dich ja, mal eine komplette Rechnung am
> Stück konkret hinzuschreiben und bist nur bereit, nach
> mehrfachem Anfragen bröckchenweise was hinzuschmeißen.
>
> Wie soll man so korrigieren oder helfen können?
>
Ich weiss nicht was du willst, ich dachte das wär die komplette Rechnung?
Tut mir ja leid, dass ich nicht imer direkt ne komplette Rechnung reinsetze, aber wenn ich nicht verstehe wie ich rechnen soll funktioniert das nicht so einfach ! ...
okay, dann hab ich jetzt f(m) + f(n) ausgerechnet, aber ist das nicht dasselbe wie f(m+n)?
Sieht f(m+n) nicht auch so aus(?):
[mm] \pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
2 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }
[/mm]
> Nun ja, Fazit ist, dass die obige Abb. nicht linear ist!
Wegen der 2 bzw. der 4 oder wieso?
Also den einzigen Unterschied zwischen f(m)+f(n) und f(m+n) könte ich mir dadurch erklären, dass bei f(m+n) die 2 da steht und bei f(m)+f(n) die 4.
also so:
f(m+n) = [mm] \pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
2 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }
[/mm]
und
f(m) + f(n) = [mm] \pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
4 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }
[/mm]
richtige Überlegung? Oder tappe ich weiterhin im dunkeln?
>
> >
> > >
> >
> > Dadurch ist ja in der "Mitte" die 4, die sich durch das
> > Addieren der zwei 2en ergibt.
> > und dadurch ist das ganze ungleich K. So richtig?
> >
> > > >
> > > > Dann wär ja noch das andere Axiom: (L2) [mm]f(\alpha*u)[/mm] =
> > > > [mm]\alpha[/mm] *f(u)
> > > > Jetzt auf den ersten Blick würde ich sagen (ich
> bin
> > > jetzt
> > > > wieder bei der ersten Aufgabe, bei der du mir grade
> > > > geholfen hast) dass auch das erfüllt ist, weil aus
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }[/mm]
> > > > würde ja dann nur vor jedes Element in der Matrix ein
> > > > [mm]\alpha*[/mm] stehen ...
> > > > und das ist ja dasselbe als wenn ich das [mm]\alpha[/mm]
> vor
> > die
> > > > Matrix setze ...
> > >
> > > Kann sein. Aber mach das mal konkret. Und begünde evtl,
> > > welche Rechenregeln du nutzt.
> > >
> >
> > Naja also:
> >
> > [mm]\alpha[/mm] * [mm]\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }[/mm]
> > = [mm]\pmat{ \alpha*4n_{1} & \alpha*\red{(}-n_{2}\red{)} & \alpha*\red{(}-2n_{3}\red{)} \\
\alpha*n_{1} & \alpha*2n_{3} }[/mm]
>
>
> ok, das ist [mm]\alpha\cdot{}f(u)[/mm]
>
> Wie lautet [mm]f(\alpha\cdot{}u)[/mm] ?
>
Also für mich ist das dasselbe. Ist [mm] f(\alpha\cdot{}u) [/mm] denn nicht das hier?:
[mm] \pmat{ \alpha*4n_{1} & \alpha*\red{(}-n_{2}\red{)} & \alpha*\red{(}-2n_{3}\red{)} \\
\alpha*n_{1} & \alpha*2n_{3} }
[/mm]
> Ich habe die andere Seite der zu zeigenden Gleichung noch
> nicht gesehen, poste es KOMOPLETT!!!!!
Ich dachte, es wäre komplett !
> Wenn du das hast und beide Seiten übereinstimmen, wenn
> also [mm]\alpha\cdot{}f(u)=f(\alpha\cdot{}u)[/mm] ist, so gilt das
> für jede Matrix, weil du die Einträge in [mm]u[/mm] bel. genommen
> hast.
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
>
Gruß
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Hallo nochmal,
>
> > > Okay, also:
> > >
> > > f(m)= [mm]\pmat{ 3m_{1} & -2m_{2} \\
2 \\
4m_{1} & m_{2} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > f(n) = [mm]\pmat{ 3n_{1} & -2n_{2} \\
2 \\
4n_{1} & n_{2} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > f(m+n)= [mm]\pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
4 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }[/mm]
> >
> >
> > Das stimmt nicht, im Eintrag [mm]2,1[/mm] muss eine 2 stehen.
> >
> > Die Matrix, die da oben steht ist [mm]f(m)+f(n)[/mm]
> >
> > Aber du weigerst dich ja, mal eine komplette Rechnung am
> > Stück konkret hinzuschreiben und bist nur bereit, nach
> > mehrfachem Anfragen bröckchenweise was hinzuschmeißen.
> >
> > Wie soll man so korrigieren oder helfen können?
> >
>
> Ich weiss nicht was du willst, ich dachte das wär die
> komplette Rechnung?
> Tut mir ja leid, dass ich nicht imer direkt ne komplette
> Rechnung reinsetze, aber wenn ich nicht verstehe wie ich
> rechnen soll funktioniert das nicht so einfach ! ...
> okay, dann hab ich jetzt f(m) + f(n) ausgerechnet, aber
> ist das nicht dasselbe wie f(m+n)?
> Sieht f(m+n) nicht auch so aus(?):
>
> [mm]\pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
2 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }[/mm]
Genau!
>
>
> > Nun ja, Fazit ist, dass die obige Abb. nicht linear ist!
>
> Wegen der 2 bzw. der 4 oder wieso?
Jo!
> Also den einzigen Unterschied zwischen f(m)+f(n) und
> f(m+n) könte ich mir dadurch erklären, dass bei f(m+n)
> die 2 da steht und bei f(m)+f(n) die 4.
> also so:
>
> f(m+n) = [mm]\pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
2 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }[/mm]
>
> und
>
> f(m) + f(n) = [mm]\pmat{ 3(m_{1}+n_{1} & -2(m_{2}+n_{2} \\
4 \\
4(m_{1}+n_{1} & m_{2}+n_{2} }[/mm]
>
> richtige Überlegung? Oder tappe ich weiterhin im dunkeln?
Nein, richtig, die Matrizen sind nicht gleich, also gilt die Linearitätsbedingung nicht!
> > >
> > > [mm]\alpha[/mm] * [mm]\pmat{ 4n_{1} & -n_{2} & -2n_{3} \\
n_{1} & 2n_{3} }[/mm]
> > > = [mm]\pmat{ \alpha*4n_{1} & \alpha*\red{(}-n_{2}\red{)} & \alpha*\red{(}-2n_{3}\red{)} \\
\alpha*n_{1} & \alpha*2n_{3} }[/mm]
> >
> >
> > ok, das ist [mm]\alpha\cdot{}f(u)[/mm]
> >
> > Wie lautet [mm]f(\alpha\cdot{}u)[/mm] ?
> >
>
> Also für mich ist das dasselbe. Ist [mm]f(\alpha\cdot{}u)[/mm] denn
> nicht das hier?:
> [mm]\pmat{ \alpha*4n_{1} & \alpha*\red{(}-n_{2}\red{)} & \alpha*\red{(}-2n_{3}\red{)} \\
\alpha*n_{1} & \alpha*2n_{3} }[/mm]
Ja, das soll ja herauskommen.
Für den Übungszettel mache echt Zwischenschritte, sonst gibt's Punktabzug!
Also [mm]\alpha f(u)[/mm] hast du berechnet.
Dem gegenüber würde ich [mm]f(\alpha u)=f\left(\alpha\vektor{n_1\\
n_2\\
n_3}\right)=f\left(\vektor{\alpha n_1\\
\alpha n_2\\
\alpha n_3}\right)=\pmat{\alpha 4n_1&\alpha(-n_2)&\alpha (-2n_3)\\
\alpha n_1&\alpha 2n_3&0}[/mm] hinschreiben.
>
>
> > Ich habe die andere Seite der zu zeigenden Gleichung noch
> > nicht gesehen, poste es KOMOPLETT!!!!!
>
> Ich dachte, es wäre komplett !
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
Okay danke dir/ euch für die Hilfe :)
Das Prinzip hab ich jetzt verstanden, denke ich kann die restlichen Aufgaben dadurch relativ problemlos lösen ... hoffe ich ;)
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> Untersuchen sie, ob folgende Abbildungen [mm](\IR-)linear[/mm] sind.
> Weisen sie also (L1) und (L2) nach oder geben Sie ein
> konkretes(!) Gegenbeispiel an:
>
> [mm]f:\IR^{3}[/mm] --> [mm]\IR^{2}[/mm] mit f [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}})[/mm] = [mm]\pmat{ 4x_{1} & -x_{2} & -2x_{3} \\
x_{1} & 2x_{3} }[/mm]
>
Hallo,
das soll doch sicher f [mm] $(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})$ [/mm] = [mm] $\pmat{ 4x_{1} -x_{2} -2x_{3} \\ x_{1} \red{+} 2x_{3} }$ [/mm] heißen.
Ich habe den Thread überflogen und gesehen, daß sich das fehlende Rechenzeichen durchzieht, was für Verwirrung sorgen könnte - falls man zur Verwirrung neigt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Krone |
> > Untersuchen sie, ob folgende Abbildungen [mm](\IR-)linear[/mm] sind.
> > Weisen sie also (L1) und (L2) nach oder geben Sie ein
> > konkretes(!) Gegenbeispiel an:
> >
> > [mm]f:\IR^{3}[/mm] --> [mm]\IR^{2}[/mm] mit f [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}})[/mm]
> = [mm]\pmat{ 4x_{1} & -x_{2} & -2x_{3} \\
x_{1} & 2x_{3} }[/mm]
> >
>
>
> Hallo,
>
> das soll doch sicher f [mm](\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})[/mm]
> = [mm]\pmat{ 4x_{1} -x_{2} -2x_{3} \\ x_{1} \red{+} 2x_{3} }[/mm]
> heißen.
>
> Ich habe den Thread überflogen und gesehen, daß sich das
> fehlende Rechenzeichen durchzieht, was für Verwirrung
> sorgen könnte - falls man zur Verwirrung neigt.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
Oh ja,stimmt.
Mein Fehler, hat aber glaube ich noch nicht für Verwirrung gesorgt ;)
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