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Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Di 06.02.2018
Autor: Tobikall

Aufgabe
Aufg. 1
Es sei P der C-Vektorraum der Poylnomfunktionen p:R->C vom Grad kleiner gleich n [mm] \in [/mm] N. Für ein Polynom p der Form [mm] \summe_{k=0}^{n} a*x^k [/mm] sei T(p) definiert durch
[mm] T(p)(x)=\bruch{p(x)-p(0)}{x} [/mm] für x ungleich 0 und T(p)(x)=a für x=0
Dann ist T eine lineare Abbildung (nicht zu zeigen).

a) Bestimmen Sie den Kern und den Rang von T
b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M(BB)(T) bezüglich der Monombasis B=(m0,...,mn) von P wobei [mm] m(x)=x^k [/mm] gilt.

Aufg. 2
Für n aus den natürlichen Zahlen sei [mm] P=(p\in [/mm] C; Polynomfunktion vom Grad kleiner gleich n) und q sei ein nicht konstantes Polynom vom Grad k.

a) Zeigen Sie dass T mit p-->q*p linear ist
b) Zeigen Sie dass T injektiv ist und bestimmen Sie den Rang
(Tipp: ein nicht konstantes Polynom vom Grad kleiner gleich m hat höchstens m Nullstellen)


Hallo,

da ich in zwei Tagen meine erste Matheklausur schreibe, habe ich bei den Altklausuren meines Profs diese zwei Aufgaben gefunden.
Es wäre toll, wenn mir sie jemand erklären könnte, damit ich noch vor der Arbeit damit zurechtkomme.

An sich habe ich kein Problem den Rang oder Kern, sowie die Injektivität zu bestimmen, nur habe ich dies noch nie bei einem Polynom gemacht?!


        
Bezug
Lineare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Di 06.02.2018
Autor: angela.h.b.


> Aufg. 1
> Es sei P der C-Vektorraum der Poylnomfunktionen p:R->C vom
> Grad kleiner gleich n [mm]\in[/mm] N. Für ein Polynom p der Form
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a*x^k[/mm]
> sei T(p) definiert durch
> [mm]T(p)(x)=\bruch{p(x)-p(0)}{x}[/mm] für x ungleich 0 und
> T(p)(x)=a für x=0
> Dann ist T eine lineare Abbildung (nicht zu zeigen).

Hallo,

prüfe nochmal die Aufgabenstellung: da fehlen an den a Indizes, oder?

>

> a) Bestimmen Sie den Kern und den Rang von T

Um den Kern zu bestimmen, mußt Du gucken, welche Polynome auf das Nullpolynom abgebildet werden.

LG Angela

> b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M(BB)(T)
> bezüglich der Monombasis B=(m0,...,mn) von P wobei
> [mm]m(x)=x^k[/mm] gilt.

>

> Aufg. 2
> Für n aus den natürlichen Zahlen sei [mm]P=(p\in[/mm] C;
> Polynomfunktion vom Grad kleiner gleich n) und q sei ein
> nicht konstantes Polynom vom Grad k.

>

> a) Zeigen Sie dass T mit p-->q*p linear ist
> b) Zeigen Sie dass T injektiv ist und bestimmen Sie den
> Rang
> (Tipp: ein nicht konstantes Polynom vom Grad kleiner
> gleich m hat höchstens m Nullstellen)

>

> Hallo,

>

> da ich in zwei Tagen meine erste Matheklausur schreibe,
> habe ich bei den Altklausuren meines Profs diese zwei
> Aufgaben gefunden.
> Es wäre toll, wenn mir sie jemand erklären könnte,
> damit ich noch vor der Arbeit damit zurechtkomme.

>

> An sich habe ich kein Problem den Rang oder Kern, sowie die
> Injektivität zu bestimmen, nur habe ich dies noch nie bei
> einem Polynom gemacht?!

>

Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:11 Di 06.02.2018
Autor: Tobikall

Oh ja, an den a´s sin eigentlich noch jeweils ein k dran...

Das Polynom ist ja eigentlich immer nur dann 0, wenn [mm] a_{k}=0 [/mm] ist, oder nicht?



Bezug
                        
Bezug
Lineare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Di 06.02.2018
Autor: leduart

Hallo
bei T(p)(x)=a  steht  da [mm] a_0 [/mm] oder wirklich a?
beim Rang: durch die Division durch x wird ja ein polynon vom grade n-1 aus dem vom Grad n
Gruß ledum

Bezug
        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:33 Mi 07.02.2018
Autor: angela.h.b.


> Aufg. 1

Hallo,

zwar hältst Du Dich nach wie vor etwas bedeckt,
aber ich denke, es soll so heißen:

> Es sei P der [mm] \IC-Vektorraum [/mm] der Poylnomfunktionen [mm] p:\IR->\IC [/mm] vom
> Grad kleiner gleich n [mm]\in[/mm] [mm] \IN. [/mm] Für ein Polynom p der Form
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{\red{k}}*x^k[/mm] sei T(p) definiert durch
> [mm]T(p)(x)=\bruch{p(x)-p(0)}{x}[/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] und

> [mm]T(p)(x)=a_\red{1}[/mm] für x=0
> Dann ist T eine lineare Abbildung (nicht zu zeigen).

Mach Dir zuerst klar, was T mit den Polynomen tut.
Überlege Dir vielleicht zunächst, worauf etwa [mm]p=7x^4+2x^3+x^2+5x+6[/mm] abgebildet wird.

Dann wirst Du feststellen:
es ist [mm]T(\summe_{k=0}^{n} a_k*x^k)=\summe_{k=1}^{n} a_k*x^{k-1}[/mm]
für alle [mm]x\in \IR[/mm].
T bildet also aus dem Vektorraum P in den Vektorraum P ab.

>

> a) Bestimmen Sie den Kern und den Rang von T

Nun überlege Dir, für welche Polynome das Nullpolynom herauskommt.
Die Menge dieser Polynome ist der Kern.

Dein Urbildvektorraum P, der Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad n, hat die Dimension n+1.
Was für Polynome erhältst Du als Bild?


> b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M(BB)(T)
> bezüglich der Monombasis B=(m0,...,mn) von P wobei
> [mm]m_{\red{k}}(x)=x^k[/mm] gilt.

Etwas mehr Sorgfalt beim Hinschreiben der Aufgabe! Es ist ärgerlich, wenn man erst die Aufgabenstellung erraten muß.
Berechne Du für k=0,...,n
[mm] T(m_k)(x). [/mm]

Sprüchlein:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix M(BB)(T) von T stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B."

Mal exemplarisch für k=5, für den sechsten der n+1 Basisvektoren:

[mm] T(m_5)(x)=x^4=m_4=0m_0+0m_1+0m_2+0m_3+1m_4+0m_5+...+0m_n. [/mm]

Die sechste Spalte Deiner Matrix wäre [mm] \vektor{0\\0\\0\\0\\1\\0\\\vdots\\0} [/mm]



>

> Aufg. 2
> Für n aus den natürlichen Zahlen sei [mm]P=(p\in[/mm] C;
> Polynomfunktion vom Grad kleiner gleich n) und q sei ein
> nicht konstantes Polynom vom Grad k.

>

> a) Zeigen Sie dass T mit p-->q*p linear ist

Für alle [mm] p\in [/mm] P ist also T(p)=p*q.

Du mußt für T die Linearitätsbedingungen vorrechnen.
Wie lauten sie? Wo ist Dein Problem?

LG Angela

> b) Zeigen Sie dass T injektiv ist und bestimmen Sie den
> Rang
> (Tipp: ein nicht konstantes Polynom vom Grad kleiner
> gleich m hat höchstens m Nullstellen)

>

> Hallo,

>

> da ich in zwei Tagen meine erste Matheklausur schreibe,
> habe ich bei den Altklausuren meines Profs diese zwei
> Aufgaben gefunden.
> Es wäre toll, wenn mir sie jemand erklären könnte,
> damit ich noch vor der Arbeit damit zurechtkomme.

>

> An sich habe ich kein Problem den Rang oder Kern, sowie die
> Injektivität zu bestimmen, nur habe ich dies noch nie bei
> einem Polynom gemacht?!

>

Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:06 Mi 07.02.2018
Autor: Tobikall

Ok, dann leg ich mal los...

1a)ich hab jetzt verstanden, wie die Funktion lautet, nur weiß ich immer noch nicht, wann genau das Nullpolynom herauskommt, doch eigentlich nur,wenn [mm] a_{k}=0 [/mm] ist oder auch wenn k=0 ist?
1b) also ist [mm] T(m_{k})(x) [/mm] für für k=0 ist es [mm] a_{0}*x^-1, [/mm] für k=1 gleich [mm] a_{1}, [/mm] für k=2 ist es [mm] a_{2}*x, [/mm] für k=3 ist es [mm] a_{3}*x^2 [/mm] und so weiter,
also ist die Matrix aufgebaut wie die Einheitsmatrix, mit einer Eins die von 0 bis n immer weiter nach unten wandert.
2a)
die Linearitätsbed. lauten ja f(x+y)=f(x)+f(y) und (f)(ax)=a(f(x)), nur weiß ich hier nicht genau wie ich mit dem p und q umgehen muss, da ja beides Polynome sind?
Vielleicht so; seien p,k [mm] \in [/mm] P, dann ist
f(p+k)=q*(p+k)=q*p+q+k=f(p)+f(k) und
f(a*p)=q*(a*p)=(q*a)*p=a*f(p) ???

2b) hier brauche ich noch Hilfe

Bezug
                        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Mi 07.02.2018
Autor: angela.h.b.


> Ok, dann leg ich mal los...

>

> 1a)ich hab jetzt verstanden, wie die Funktion lautet, nur
> weiß ich immer noch nicht, wann genau das Nullpolynom
> herauskommt, doch eigentlich nur,wenn [mm]a_{k}=0[/mm] ist oder auch
> wenn k=0 ist?

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob Du die Funktion wirklich verstanden hast.
Was ist das Bild von [mm] p_1= 7x^4+2x^3+x^2+5x+6, [/mm]
[mm] p_2=x-25, p_3=134? [/mm]


> 1b) also ist [mm]T(m_{k})(x)[/mm] für für k=0 ist es [mm]a_{0}*x^-1,[/mm]
> für k=1 gleich [mm]a_{1},[/mm] für k=2 ist es [mm]a_{2}*x,[/mm] für k=3
> ist es [mm]a_{3}*x^2[/mm] und so weiter,

Nein. Wo sollen denn die [mm] a_k [/mm] herkommen?
Die sind doch lt. Definition der [mm] m_k [/mm] jedesmal 1.

Also haben wir für k=1,2,3...,n: [mm] T(m_k)(x)=x^{k-1}. [/mm]

Über [mm] T(m_0)(x) [/mm] solltest Du nochmal mithilfe der Definition von T nachdenken.

> also ist die Matrix aufgebaut wie die Einheitsmatrix, mit
> einer Eins die von 0 bis n immer weiter nach unten
> wandert.

Es könnte sein, daß Du es richtig meinst: auf der oberen Nebendiagonalen stehen Einsen, sonst sind alle Positionen mit Nullen besetzt.

> 2a)
> die Linearitätsbed. lauten ja f(x+y)=f(x)+f(y) und
> (f)(ax)=a(f(x)), nur weiß ich hier nicht genau wie ich mit
> dem p und q umgehen muss, da ja beides Polynome sind?
> Vielleicht so; seien p,k [mm]\in[/mm] P,

und [mm] a\in \IR, [/mm]

> dann ist
> [mm] f(p+k)=q*(p+k)=q*p+q\red{\*}k=f(p)+f(k) [/mm] und
> f(a*p)=q*(a*p)=(q*a)*p=

(a*q)*p=a*(q*p)

> a*f(p) ???

>

> 2b) hier brauche ich noch Hilfe

Was weißt Du über injektive lineare Funktionen?

LG Angela

Bezug
                                
Bezug
Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Mi 07.02.2018
Autor: Tobikall

1a)
Ich probiere mal die Bilder von p1 bis p3 aufzuschreiben, also
[mm] f(p1)=7x^3+2x^2+x+5, [/mm] f(p2)=1 und f(p3)=0 ???

Keine Ahnung ob das so stimmt, da ich mit der Notation der Funktion irgendwie nicht richtig zurechtkomme. Der Kern ist ja vorhanden, wenn f(x)=0 ist und der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren. Könnte der Rang hier k-1 sein, da man ja im Bild x^(k-1) hat? und wann ist der Kern jetzt immer 0?

2b) T ist injektiv wenn der Kern von f gleich dem Nullelement ist, also wenn die Funktion nicht 0 wird, oder?
Und wie kann man den Rang bestimmen?

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Mi 07.02.2018
Autor: angela.h.b.


> 1a)
> Ich probiere mal die Bilder von p1 bis p3 aufzuschreiben,
> also
> [mm]f(p1)=7x^3+2x^2+x+5,[/mm] f(p2)=1 und f(p3)=0 ???

Das stimmt.
Und Du siehst schon, daß nicht nur die Polynome, bei denen [mm] a_k=0 [/mm] für alle K=0,1,2,...,n sind, aufs Nullpolynom abgebildet werden.

>

> Keine Ahnung ob das so stimmt, da ich mit der Notation der
> Funktion irgendwie nicht richtig zurechtkomme.

Wenn man Dir hier helfen soll, müßtest Du das Problem genauer ausführen. Was machst Du etwa mit der Def. der Funktion und dem Polynom [mm] p=7x^4+2x^3+x^2+5x? [/mm]



> Der Kern ist
> ja vorhanden, wenn f(x)=0 ist

Der Kern ist immer vorhanden.

Ein Polynom p ist im Kern von T, wenn sein Bild das Nullpolynom ist.

> und der Rang ist die Anzahl
> der linear unabhängigen Vektoren.

des Bildes.
Die Dimension von T(P).

Du kannst Dir hier überlegen, daß alle Polynome vom Höchstgrad n-1 im Bild sind.



> Könnte der Rang hier
> k-1

Welche Dimension hat P?
Die Dimension des Bildes ist um eins niedriger, den nwie Du erkannt hast, kommen höchstens Polynome vom Grad n-1 vor.
(n, nicht k!)



> sein, da man ja im Bild x^(k-1) hat? und wann ist der
> Kern jetzt immer 0?

>

> 2b) T ist injektiv wenn der Kern von f gleich dem
> Nullelement ist,

richtig.

> also wenn die Funktion nicht 0 wird,
> oder?

???

Sei T(p)=0.

Jetzt mußzt Du herausfinden, ob p zwingend das Nullpolynom ist, oder ob es andere Möglichkeiten gibt.

> Und wie kann man den Rang bestimmen?

Stichwort: Kern-Bild-Satz.

LG Angela

P.S.: Morgen ist die Klausur? Dann solltest Du Dich heute nicht mehr mit Unklarheiten verrückt machen.

Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:03 Mi 07.02.2018
Autor: Tobikall

Auf jeden Fall vielen Dank, das ist mir jetzt alles etwas klarer. :)

Bezug
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