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Lineare Abbildungen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Mo 14.05.2018
Autor: kalekolucci

Aufgabe
Wir fassen in dieser Aufgabe den Graphen von f [mm] \in L(K^{rx1},K^{(n-r)x1}),0 \le [/mm] r [mm] \le [/mm] n, als Teilmenge von [mm] K^{nx1} [/mm] auf, indem wir für [mm] f((x_{1},x_{2},...,x_{r})^{T}) [/mm] = [mm] (y_{1}, y_{2}, [/mm] ..., [mm] y_{n-r})^{T} [/mm] zwischen dem Paar [mm] ((x_{1}, x_{2},...,x_{r})^{T}, f(x_{1}, x_{2},...,x_{r})^{T}) [/mm] und der Spalte [mm] (x_{1},x_{2},..,x_{r},y_{1},y_{2},..,y_{n-r})^{T} [/mm] nicht unterscheiden. Zeige:

(a) Für alle f [mm] \in L(K^{rx1},K^{(n-r)x1}) [/mm] ist der Graph von f ein r-dimensionaler Unterraum von [mm] K^{nx1}. [/mm]

(b) Jeder r-dimensionale Unterraum von [mm] K^{nx1} [/mm] ist - abgesehen von der Reihenfolge der Koordinaten - der Graph einer linearen Abbildung f [mm] \in L(K^{rx1},K^{(n-r)x1}). [/mm]

Bemerkung: Es ist üblich, aber keineswegs zwingend, [mm] x_{1},x_{2},..,x_{r} [/mm] an den Anfang und [mm] y_{1},y_{2},..,y_{n-r} [/mm] an das Ende der Spaltenvektoren zu setzen. Deshalb ist in (b) die Einschränkung hinsichtlich der Reihenfolge der Koordinaten notwendig.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmals!
Diese Frage beschäftigt mich jetzt schon seit 2 Stunden, aber mir fehlt leider nichts ein, wie ich diese Aufgaben lösen könnte. Ich will keine Lösung von euch, sondern einen Hinweis, wie ich diese Aufgabe meistern kann.

        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Di 15.05.2018
Autor: hippias

Mache Dir klar: wenn [mm] $B\subseteq K^{r\times 1}$ [/mm] linear unabhängig ist, dann ist [mm] $\{(b,f(b))\vert b\in B\}$ [/mm] eine linear unabhängige Menge von [mm] $K^{n\times 1}$ [/mm] (im Sinne der vereinbarten Identifikation).

Damit erhälst Du einen Ansatz, um die Behauptung zu zeigen.

Bezug
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