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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Manabago |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] R^3 \to [/mm] R eine lineare Abbildung mit f(1,1,-3)=1, f(-2,2,2)=2, f(0,1,1)=-2. Ist f eindeutig bestimmt? Kann man eine Formel für [mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] finden? |
Steh ehrlich gesagt wieder einmal ziemlich auf der Leitung. Für die Formel hätt ich folgenden Ansatz:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = 1
[mm] -2x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 2
[mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = -2
Ist das so richtig? Aber wie zeig ich, dass die Abbildung f eindeutig ist? Wär nett, wenn mir wer helfen könnte.
Liebe Grüße
Manuel
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> Sei f: [mm]R^3 \to[/mm] R eine lineare Abbildung mit f(1,1,-3)=1,
> f(-2,2,2)=2, f(0,1,1)=-2. Ist f eindeutig bestimmt? Kann
> man eine Formel für [mm]f(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm] finden?
> Steh ehrlich gesagt wieder einmal ziemlich auf der
> Leitung. Für die Formel hätt ich folgenden Ansatz:
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = 1
> [mm]-2x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = 2
> [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = -2
>
> Ist das so richtig? Aber wie zeig ich, dass die Abbildung f
> eindeutig ist? Wär nett, wenn mir wer helfen könnte.
>
> Liebe Grüße
> Manuel
[mm] \text{Hi,}
[/mm]
[mm] \text{Weiß zwar jetzt nicht, ob das so richtig ist, doch ich könnte mir vorstellen, dass du jetzt einfach über-}
[/mm]
[mm] \text{prüfen musst, ob das lineare Gleichungssystem lösbar ist.}
[/mm]
[mm] $x_{1}=-3 \wedge x_{2}=-\bruch{1}{2} \wedge x_{3}=-1\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Ja, danke. Die Formel hab ich jetzt eh schon. Aber weißt du vielleicht auch, wie man zeigt ob es eindeutig bestimmt ist???? Lg
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[mm] \text{Né, leider nicht. :) Bin erst im LK von ner 12. Stufe, leider noch kein Student.}
[/mm]
[mm] \text{Musst du mal bei 'nem Studienkollegen 'rumfragen oder hier auf jemand anderen warten.}
[/mm]
[mm] \text{Stefan.}
[/mm]
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Hallo.
Eine lineare Abbildung von [mm] T:\IR^{n} \to \IR^{M} [/mm] ist eindeutig bestimmt durch die Werte auf einer Basis des [mm] \IR^{N}. [/mm] Also kennst Du [mm] T(v_{1}),...,T(v_{N}) [/mm] mit einer Basis [mm] \{v_{1},...,v_{N}\}, [/mm] dann kennst Du T. Hier wäre also zu testen, ob die drei Vektoren, die hier in f eingesetzt werden, linear unabhängig sind. Wenn nicht, ist f nicht eindeutig bestimmt.
Dein Gleichungssystem liefert hier aber nicht die Darstellung, so findest Du doch nur Werte für die [mm] x_{i}. [/mm] Das sind aber die Variablen!! Du mußt ausgehen von der Form [mm] f(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}. [/mm] Jetzt a,b und c suchen...
Gruß von Torsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Danke erstmals für deine Antwort. Du meinst also ich soll überprüfen, ob (1,1,-3), (-2,2,2), (0,1,1) linear unabhängig sind. Wenn ja, weiß ich, dass f eindeutig bestimmt ist (dh dass f injektiv ist, oder???).
Ich dachte eigentlich ich müsste prüfen, dass die Vektoren der Bildmenge injektiv sind, oder ist das Blödsinn?
Bitte nochmals um deine Hilfe. Danke!!!
Lg
Manuel
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Nee, eindeutig bestimmt meint hier nicht injektiv. Nimm z.B. die beiden folgenden Abbildungen:
f(x,y,z) = x+y+z und g(x,y,z) = x+y-z
Dann ist:
f(1,1,0) = 2 = g(1,1,0),
f(0,1,0) = 1 = g(0,1,0),
f(1,0,0) = 1 = g(1,0,0).
Es gibt also zwei unterschiedliche lineare Abbildungen, die an den drei angegebenen Vektoren dieselben Werte annehmen. Ein f mit den drei Bedingungen wäre also nicht eindeutig!
Hast Du eine Basis [mm] \{v,w,z\} [/mm] und gibst f(v), f(w) und f(z) vor, dann gilt:
Für einen beliebigen Punkt x [mm] \in \IR^{3} [/mm] ist ja:
x = [mm] \alpha [/mm] v + [mm] \beta [/mm] w + [mm] \gamma [/mm] z
mit den Koordinaten [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] von x. Also, weil f linear ist:
f(x) = [mm] \alpha [/mm] f(v) + [mm] \beta [/mm] f(w) + [mm] \gamma [/mm] f(z). Daher ist f(x) schon eindeutig bestimmt durch die drei Vorgaben. OK?
Torsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Ok, das mit injektiv war also Blödsinn. Danke erstmals. Aber jetzt nochmal eine Frage: Ich muss also nur zeigen, dass meine drei Vektoren des [mm] R^3 [/mm] linear unabhängig sind (dass sie ein Erz.system sind, ist ja klar) ==> sie sind eine Basis. des [mm] R^3. [/mm] Daher weiß ich also, dass meine lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist. Hab ich das richtig verstanden?
Wenn das stimmt, kann ich deine Erklärung quasi als Theorem verwenden und auf alle linearen Abbildungen anwenden???
Bitte nochmals um deine Hilfe. Danke!!!
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Wieso ist das klar, daß die drei Vektoren ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^{3} [/mm] sind? Wenn sie es sind, dann IST es eine Basis, daraus folgt dann die lineare Unabhängigkeit und sie ist nicht mehr zu zeigen. Vielleicht solltest Du Dir diese Begriffe nochmal genauer anschauen, man bringt das schnell durcheinander.
Was ich geschrieben habe über Basis und eindeutig bestimmt, kannst Du als Theorem verwenden, ist ja auch eins, den Beweis hab ich ja mitgeliefert 
Torsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Ok. Also muss ich erst zeigen, dass sie ein Erzeugendensystem sind. Wir haben es nämlich so gelernt, dass wenn Vektoren ein Erz.system und lin.unabh. sind, dann sind sie Basis. Wieso folgt also dann aus der Tatsache, dass die Vektoren ein Erz.system sind, dass sie eine Basis sind??? Vielleicht wegen der lin. Abbildung?
Zurück aber zum Bsp.: die lineare Abbildung ist also deswegen eindeutig bestimmt, da sie ein Erz.system sind (was zu zeigen ist) und daher sind sie eine Basis ==> sie sind lin.unabh., also ist die Abbildung eindeutig. Hoffe, es ist so richtig?
Vielleicht kannst du mir nochmals kurz deine Zeit opfern :).
Lg
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Hallo.
Ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^{3} [/mm] muß ja mindestens 3 Vektoren enthalten, sonst geht's ja nicht. Und wenn drei Vektoren den [mm] \IR^{3} [/mm] erzeugen, dann müssen sie linear unabhängig sein. Wenn Du vier Vektoren hättest, die [mm] \IR^{3} [/mm] erzeugen, sind die mit Sicherheit linear abhängig!
Warum ist das hier so? Weil Du schon VOR ALLEN RECHNUNGEN weißt, daß [mm] \IR^{3} [/mm] dreidimensional ist, also muß eine Basis genau drei Elemente haben.
Wenn Du nun irgendeinen Vektorraum hast, von dem Du vorher noch nicht die Dimension kennst (bei [mm] \IR^{N} [/mm] läßt sich das ja nun mal nicht verheimlichen), dann muß neben der Eigenschaft, Erzeugendensystem zu sein, auch die lineare Unabhängigkeit gezeigt werden! Letzteres kannst Du Dir hier eben sparen. (Genauso umgekehrt: wenn Du weißt, daß die drei linear unabhängig sind, dann sind sie auch ein Erzeuger, selbes Argument).
Gruß von Torsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Dank dir, bin ziemlich auf der Leitung gestanden. :)
Lg
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Au, da war ich zu schnell. Dein Gleichungssystem war doch ok, war ganz verwirrt durch die x dort. Tschuldigung...
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