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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Lineare Abbildungen
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Lineare Abbildungen: Bild(f), Kern(f)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Do 28.06.2007
Autor: vohigu

Aufgabe
Ich habe eine frage bezüglich Bild(f) und Kern(f) generell.

Kann mir jemand genau sagen wie ich Bild(f) und Kern(f) einer linearen Abbildung berechne?

        
Bezug
Lineare Abbildungen: Definitionen.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Do 28.06.2007
Autor: kochmn

Servus Marius,

das Bild einer linearen Abbildung A
erhältst Du, indem Du Dir einen Satz Basisvektoren Deiner
Urmenge schnappst, sie durch A schickst und Dir den Aufspann
des Ergebnisses anschaust.

Der Kern der Matrix A (englisch: nullspace)
ist die Menge aller Vektoren der Urmenge, die von A auf das
0-Element der Zielmenge geschickt werden.

Um also zum Beispiel den Kern von

[mm] A:=\pmat{ 1 & 2 & 2\\ 3 & 4 & 4} [/mm]

zu bestimmen suchst Du alle Lösungen des LGS

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2\\ 3 & 4 & 4} \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Nochmal die Definitionen:
* Der Kern der Abbildung
    A: U [mm] \to [/mm] B
  ist Teilmenge von U:
    [mm] ker(A):=\{x\in U | A(x)=0 \} [/mm]
* Das Bild ist Teilmenge von B:
    [mm] bild(A):=\{y\in B | \exists x\in U : A(x)=y \} [/mm]

Liebe Grüße
  Markus-Hermann.


Bezug
        
Bezug
Lineare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Do 28.06.2007
Autor: makw

Also. Sei A eine Matrix der linearen Abb. f.  Dann nimmst Du ein y aus deiner Definitionmenge und setzt ein Ay=b. Dann nach y ausrechnen und dann hast du die Basis fuer das Bild. Schreibe dann das Ergebnis in Linearkombination auf und schon bist Du fertig.
Die gleiche Methode nur mit b=0 ergibt dir die Basis des Kerns.

Bezug
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