Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Mo 23.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hallo,
ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand bei der folgenden Aufgabe behilflich wäre, da ich mit meinem Skript nichts anfangen konnte:
Es sei eine lineare Abbildung S: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] gegeben durch:
[mm] S((x1,x2,x3)^T) [/mm] = [mm] (0.5x_2, 0.4x_1 [/mm] , [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2)^T
[/mm]
Jetzt soll ich die zu S gehörige Matrix A bezüglich der kanonischen Basis [mm] {e_1 , e_2 , e_3} [/mm] bestimmen.
Mein Ansatz:
Die Abbildungsmatrix ergibt sich ja, indem man die Bilder der Basisvektoren von V als Spalten einer Matrix auffasst:
[mm] M(f)=\pmat{ f (v_1) f(v_2) ... f(v_3) } [/mm]
zunächst habe ich die gegeben Vorschrift transponiert:
S= [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{0.5x_2 \\ 0.4x_1 \\ x_1 - x_2}
[/mm]
dann habe ich die Standardbasis gewählt:
A=B=( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
somit gilt:
S [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0.4 \\ 1}
[/mm]
S [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}= \vektor{0.5 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
S [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
somit ist meine Matrix:
[mm] \vektor{0 | 0,5| 0 \\0.4| 0 |0 \\1 | -1 | 0}
[/mm]
ist das so korrekt ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mml2011 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo,
>
> ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand bei der
> folgenden Aufgabe behilflich wäre, da ich mit meinem
> Skript nichts anfangen konnte:
>
> Es sei eine lineare Abbildung S: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] gegeben
> durch:
>
> [mm]S((x1,x2,x3)^T)[/mm] = [mm](0.5x_2, 0.4x_1[/mm] , [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2)^T[/mm]
>
> Jetzt soll ich die zu S gehörige Matrix A bezüglich der
> kanonischen Basis [mm]{e_1 , e_2 , e_3}[/mm] bestimmen.
>
> Mein Ansatz:
>
> Die Abbildungsmatrix ergibt sich ja, indem man die Bilder
> der Basisvektoren von V als Spalten einer Matrix auffasst:
>
> [mm]M(f)=\pmat{ f (v_1) f(v_2) ... f(v_3) }[/mm]
>
> zunächst habe ich die gegeben Vorschrift transponiert:
>
> S= [mm]\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3}[/mm] = [mm]\vektor{0.5x_2 \\
0.4x_1 \\
x_1 - x_2}[/mm]
>
>
> dann habe ich die Standardbasis gewählt:
>
> A=B=( [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> somit gilt:
>
>
> S [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}= \vektor{0 \\
0.4 \\
1}[/mm]
>
> S [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}= \vektor{0.5 \\
0 \\
-1}[/mm]
>
> S [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}= \vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> somit ist meine Matrix:
>
> [mm]\vektor{0 | 0,5| 0 \\
0.4| 0 |0 \\
1 | -1 | 0}[/mm]
>
> ist das so korrekt ? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Alles richtig!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 23.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Das ging ja flott.
Dann habe ich den ersten Teil wirklich verstanden.
Könnte man mir beim zweiten Teil noch eventuell behilflich sein?
Es sei T: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] die lineare Abbildung, die eine 45° Drehung um die Drehachse mit Richtung [mm] (0,0,1)^T [/mm] beschreibt.
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung B von T bzgl. der kanonischen Basis.
Hinweis: Konstruieren Sie zunächst eine Basis [mm] {w_1,w_2,w_3} [/mm] mit
[mm] w_1 [/mm] parallel zur Drehachse, [mm] ||w_1||=1
[/mm]
[mm] w_2 [/mm] senkrecht zu [mm] w_1 ||w_2||=1
[/mm]
[mm] w_3 [/mm] senrecht zu [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 ||w_3||=1
[/mm]
und stellen Sie die Abbildungsmatrix bzgl dieser Basis auf.
Da habe ich wirklich keinerlei Ideen, was ich machen könnte.
Kann mir da jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Kann mir niemand ein Tipp geben?
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> Es sei T: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] die lineare Abbildung, die eine
> 45° Drehung um die Drehachse mit Richtung [mm](0,0,1)^T[/mm]
> beschreibt.
> Bestimmen Sie die Matrixdarstellung B von T bzgl. der
> kanonischen Basis.
>
>
> Hinweis: Konstruieren Sie zunächst eine Basis
> [mm]{w_1,w_2,w_3}[/mm] mit
>
> [mm]w_1[/mm] parallel zur Drehachse, [mm]||w_1||=1[/mm]
>
> [mm]w_2[/mm] senkrecht zu [mm]w_1 ||w_2||=1[/mm]
>
> [mm]w_3[/mm] senrecht zu [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2 ||w_3||=1[/mm]
>
> und stellen Sie die Abbildungsmatrix bzgl dieser Basis
> auf.
>
> Da habe ich wirklich keinerlei Ideen, was ich machen
> könnte.
Hallo,
.
Ideen sind zunächst nicht erforderlich, denn es steht ja schon da, was Du als erstes machen sollst:
eine gut zum Problem passende Basis finden und die Matrix bzgl. dieser Basis aufstellen.
Was hast Du denn für Vorschläge, was man für [mm] w_1, w_2, w_3 [/mm] nehmen könnte.
Tip: nimm für [mm] w_1 [/mm] den Vektor [mm] \vektor{0\\0\\1}.
[/mm]
Bestimme die Bilder bzgl dieser Basis und stecke sie in die Spalten einer Matrix.
Danach machst Du eine Basistransformation und erhältst so die Darstellungsmatrix bzgl der kanonischen Basis.
Eigentlich finde ich diesen Weg etwas umständlich...
Du kannst Dir auch gleich überlegen, auf welche Vektoren die Standardbasisvektoren bei der angegebenen Drehung abgebildet werden und daraus sofort die Matrix basteln.
Gruß v. Angela
> Kann mir da jemand helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
[mm] w_2 [/mm] sollte ja senkrecht auf [mm] w_1 [/mm] sein, da könnte ich doch wieder den Vektor nehmen oder nicht:
[mm] w_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
und für [mm] w_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , da [mm] w_3 [/mm] senkrecht zu [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sein soll .
Hmm, habe ich mir das jetzt zu einfach gemacht ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Kann mir jemand noch bei dieser Aufgabe helfen?
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> [mm]w_2[/mm] sollte ja senkrecht auf [mm]w_1[/mm] sein, da könnte ich doch
> wieder den Vektor nehmen oder nicht:
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Sollen sie nicht senkrecht aufeinander stehen? Sofern du dich also nicht durch dumme Kopierfehler hier fundamental verschrieben hast, gilt bei dir wohl kaum: [mm] =0, [/mm] oder? (Skalarprodukt gleich 0). Dem sollte aber so sein. Aber wahrscheinlich hast du dich nur verschrieben, denn welche Vektoren zur Z-Achse senkrecht stehen, sollte kein Hexerwerk sein ;)
EDIT: allerding sehe ich gerade, dass ich ja die kanonische Basis vorschlage...da angelah dir aber auch [mm] w_1=e_3 [/mm] vorgeschalgen hat, ist es im Grunde doch dieses Ergebnis, auch wenn du statt [mm] e_1 [/mm] von mir aus [mm] (1,1,0)^T [/mm] oder sonstwas nehmen könntest, aber wie sie schon sagte: Durch den Tipp der Aufgabe, du sollst [mm] w_1=(0,0,1)^T [/mm] nehmen und die anderen Vektoren dazu senkrecht wählen, kommst du de facto auf die kanonische Basis...
>
> [mm]w_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> und für [mm]w_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] , da [mm]w_3[/mm] senkrecht zu [mm]w_1[/mm]
> und [mm]w_2[/mm] sein soll .
>
> Hmm, habe ich mir das jetzt zu einfach gemacht ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
hmm okay also dann wähle ich :
[mm] w_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] w_3=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
jetzt sind sie alle zueinander senkrecht, müsste also so richtig sein, stimmts?
dann gilt:
[mm] (1,1,0)^t [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] T\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] T\vektor{1 \\ 0 \\ 0}= T\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] T\vektor{0 \\ 1 \\ 0}= T\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
so richtig ?
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Nein nein, moment ^^
Also mach es bitte erst einmal für die kanonische, sonst blicke ich auch nicht mehr durch, was du jetzt nimmst. Wenn du meinen vorgeschlagenen Vektor [mm] (1,1,0)^T [/mm] nehmen wolltest, dann geht NICHT als zweiter Vektor in der x,y-Ebene [mm] (1,0,0)^T, [/mm] die sind ja NICHT senkrecht. Der senkrechte wäre [mm] (1,-1,0)^T [/mm] oder die erste 1 mit negativem VZ. Aber im Endeffekt ist es die kanonische Basis, was ja aus der Vorgabe [mm] w_1=(0,0,1)^T [/mm] folgt, denn das ist die z-Achse und senkrecht dazu sind nur Vektoren, die in der x,y-Eben oder einer Ebene parallel zu dieser liegen.
Nachtrag: Sorry, richtig ist natürlich, dass [mm] T(w_1)=w_1 [/mm] ist, denn da ändert sich ja nichts, er ist ja die Drehachse und bleibt natürlich er selbst, der Rest verändert sich aber ;)
Nachtrag 2: Sorry ich war verwirrt durch dein groß T, das ist für mich eine Matrix, aber kein Zeichen für eine lin. Abbildung, habe nicht sorgfältig gelesen. Trotzdem kann eine 45° Drehung des Vektors [mm] e_1=(1,0,0)^T [/mm] um die z-Achse doch nicht [mm] (0,1,0)^T [/mm] ergeben, oder? Das wäre eventuell eine 90° Drehung, aber sonst...;) Und auch der [mm] e_2-Vektor [/mm] wird wohl kaum der 0 Vektor, das müsstest du mir mal demonstrieren, wie du mit einer Drehung einen Vektor in den 0-Vektor überführst!
Das was jetztkommt, lasse ich stehen, war dir aber ja doch bewusst, wie gesagt, ich habe T bei dir falsch interpretiert. Der Ansatz stimmt soweit.
So wieso stellst du aber deine Abbildungsmatrix B jetzt mit den Spaltenvektoren von [mm] e_1 [/mm] bis [mm] e_3 [/mm] auf? Oder von mir aus [mm] w_1 [/mm] bis [mm] w_3 [/mm] bleiben wir mathematisch korrekt? Du hast doch eine Abbildung [mm] \phi, [/mm] die eine Drehung bewirkt. Was ist denn nun aber [mm] \phi(e_1) [/mm] etc.? Du hast es doch in deinem ersten Post korrekt vorgerechnet und selbst gesagt, die Abbildungsmatrix enthält als Spaltenvektoren die Bilder der Basisvektoren, also [mm] $B(\phi(e_1), \phi(e_2), \phi(e_3))$. [/mm] Davon kann ich jetzt bei dir nichts mehr erkennen, du hast ja quasi überhaupt nichts mit den Vektoren [mm] w_i [/mm] gemacht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ganz langsam, jetzt blick ich überhaupt nicht mehr durch.
Waren meine [mm] w_n [/mm] denn richtig? So wie ich sie gewählt habe ?
Oder geht das jetzt doch nicht :O
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Wenn du [mm] w_1=e_3 w_2=e_2 [/mm] oder [mm] e_1 [/mm] und [mm] w_3=e_1 [/mm] oder [mm] e_2 [/mm] gewählt hast, ja natürlich ist das korrekt. Du hast danach aber geschrieben:
"Damit ergbit sich [mm] (1,1,0)^T= [/mm] ..."
Dieser Satz hat da aber nichts mehr zu suchen, weil du dich für andere Vektoren entschieden hast! Ok? Also entweder du nimmst die kanonische Basis, und nichts anderes hast du ja genommen, oder du suchst die eben andere Vektoren, die zu [mm] w_1=e_3, [/mm] also der z-Achse senkrecht stehen ;)
So jetzt zur Abbildung. Die Abbildung T soll eine Drehung um 45° um die z-Achse sein. Wie kommst du dann darauf, dass [mm] T(w_2)=0 [/mm] sein soll?
Du drehst z.B. den [mm] e_1 [/mm] um 45° Da du um die z-Achse drehst, bleibst du in der x-y-Ebene. Was passiert mit deiner x-Achse, wenn du den Vektor [mm] e_1 [/mm] um 45° in positive Richtung drehst? kommt da etwa die y-Achse raus? Und die y-Achse, also [mm] e_2, [/mm] hast du ja laut deiner Rechnung [mm] T(e_2)=0 [/mm] in den Nullvektor überführt!
Du KANNST es nicht genau wie in a oder der ersten Aufgabe gemacht haben, denn da hattest du eine konkrete Vorschrift: bilde die erste Komponente des neuen Vektors T(v) inden du z.B: x1+x2 rechnest. (jetzt nur als Beispiel, ich habe die Bildungsvorschrift nicht vor Augen). HIER gibt es jetzt aber keine Bildungsvorschrift, hier gibt es nur in Worten die Anweisung: Drehe um 45° um die z-Achse, richtig? ALso kann dein [mm] T((0,1,0)^T)=0 [/mm] nicht stimmen. Das meinte ich.
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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:08 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich muss jetzt die Bildungsvorschrift nach diesen 45° Grad erst einmal aufstellen, oder wie ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Di 24.05.2011 | | Autor: | Adamantin |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genau, es sei, du kannst ohne diese Bildungsvorschrift direkt angeben, wie die Basisvektoren [mm] w_1,w_2 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] verändert werden. Dann brauchst du das nicht.
Also entweder du siehst direkt, dass [mm] T((1,0,0)^T) [/mm] nach einer 45° Drehung in den neuen Vektor [mm] v_1=(\bruch{\wurzel{2}}{2},\bruch{\wurzel{2}}{2},0)^T [/mm] übergeht, oder du brauchst eine Bildungsvorschrift, die dir genau das sagt.
Anderes Beispiel: Wenn ich dir sage, du sollst eine Abbildungsmatrix für die lin. Abbildung [mm] \Phi [/mm] bestimmen, die die [mm] x_1 [/mm] Komponente des Vetors in [mm] R^1 [/mm] abbildet, brauchst du dann die Vorschrift: [mm] $\Phi [/mm] : [mm] R^3 \to R^1 [/mm] mit [mm] (x,y,z)^T \mapsto (x_1, 0,0)^T$ [/mm] ? Ich glaube nicht ;)
Wichtig ist, dass du eine Abbildungsmatrix nur dann aufstellen kannst, wenn du weißt, wie die lin. Abbildung die Basisvektoren verändert. In a war das einfach, weil eine konkrete Abbildungsvorschrift angegeben war. Ist dies nicht der Fall, musst du dir eine entsprechende aufstellen oder durch Skizze, geometrische Interpretation oder sonstwas eben die Abbildung für [mm] e_1 [/mm] überlegen ;)
Nachtrag:
Vielelicht ist es leichter für dich, wenn du das ganze in [mm] R^2 [/mm] mal machst. Ich dachte, du kennst das Beispiel schon:
Eine Drehung um den Winkel [mm] \phi [/mm] im [mm] R^2 [/mm] ist z.B. durch die Abbildungsmatrix:
[mm] $B=\pmat{ cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi) }$
[/mm]
gegeben. Du hast ja nur den SPezialfall [mm] $\phi=45°$ [/mm] Da wir aber um die z-Achse drehen, haben wir trotz [mm] R^3 [/mm] im Grunde eine Drehung in der x-y-Ebene um den Winkel [mm] \phi. [/mm] Also mach dir das vielleicht einmal so klar, ehe du es direkt ausrechnest. Das wäre sozusagen deine konkrete Bildungsvorschrift: x-Komponente wird zu [mm] cos(\phi), [/mm] y-Komponente wird zu [mm] sin(\phi) [/mm] (für [mm] e_1) [/mm] usw.
Siehe auch wiki mit dem Fall in [mm] R^3:
[/mm]
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich habe mir jetzt mal eine Skizze gemacht und folgendes ermittelt:
[mm] w_1=(0 [/mm] 0 [mm] 1)^T [/mm] -> nach Drehung (1 0 [mm] 1)^T
[/mm]
[mm] w_2=(1 [/mm] 0 [mm] 0)^T [/mm] -> nach Drehung ( 1 1 [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] w_3=(0 [/mm] 1 [mm] 0)^T [/mm] -> nach Drehung (0 1 [mm] 1)^T
[/mm]
so richtig?
Wenn ja, wie komme ich jetzt auf die Matrix B?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich habe mir jetzt mal eine Skizze gemacht und folgendes ermittelt:
[mm] w_1=(0 [/mm] 0 [mm] 1)^T [/mm] -> nach Drehung (1 0 [mm] 1)^T
[/mm]
[mm] w_2=(1 [/mm] 0 [mm] 0)^T [/mm] -> nach Drehung ( 1 1 [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] w_3=(0 [/mm] 1 [mm] 0)^T [/mm] -> nach Drehung (0 1 [mm] 1)^T
[/mm]
Wäre das so richtig?
Wenn ja, wie komme ich jetzt auf die Matrix B?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich weiß, dass da noch viele andere Hilfe benötigen, aber diese Aufgabe ist 10 Punkte Wert, könntest du mir bei der Bestimmung von B noch behilflich sein , wenn mein vorheriger Schritt (Drehung um 45°) stimmt ?
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> Ich habe mir jetzt mal eine Skizze gemacht und folgendes
> ermittelt:
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> [mm]w_1=(0[/mm] 0 [mm]1)^T[/mm] -> nach Drehung (1 0 [mm]1)^T[/mm]
>
> [mm]w_2=(1[/mm] 0 [mm]0)^T[/mm] -> nach Drehung ( 1 1 [mm]0)^T[/mm]
>
> [mm]w_3=(0[/mm] 1 [mm]0)^T[/mm] -> nach Drehung (0 1 [mm]1)^T[/mm]
Hallo,
Deine Vektoren verändern bei Drehung ihre Länge.
Das ist seltsam.
Weiter wundere ich mich, wieso die Drehachse bei der Drehung ihre Richtung nicht beibehält.
Sinnvoll wäre es sicher, würdest Du Dir mal ein x-y-Koordinatensystem zeichnen und gucken, was mit [mm] e_1(=w_2) [/mm] und [mm] e_2(=w_2) [/mm] bei der Drehung passiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Adamantin hat:
$ [mm] w_1=(0 [/mm] $ 0 $ [mm] 1)^T [/mm] $ -> nach Drehung (1 0 $ [mm] 1)^T [/mm] $ das auch in seinem letzten post stehen.
Naja neuer Versuch, nach der neuen Skizze :
[mm] w_1 [/mm] wird jetzt nach der Drehung zu [mm] v_1=(1 [/mm] 0 [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] w_2=(1 [/mm] 0 [mm] 0)^T [/mm] wird nach der Drehung zu [mm] v_2=(0 [/mm] 0 [mm] 1)^T
[/mm]
Wenn das auch falsch ist, dann weiß ich auch nicht.
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> Adamantin hat:
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> [mm]w_1=(0[/mm] 0 [mm]1)^T[/mm] -> nach Drehung (1 0 [mm]1)^T[/mm] das auch in seinem
> letzten post stehen.
Hallo,
k.A., was Adamantin da stehen hat.
Falls wir alle über dieselbe Abbildung reden, stimmt es jedenfalls nicht.
Es stimmt schon deshalb nicht, weil der Vektor während der Drehung länger geworden ist, worauf ich bereits in einem vorhergehenden Post hinwies.
Nur mal so zum allgemeinen Verständnis: wir haben doch die z-Achse als Drehachse, oder hat sich das inzwischen geändert?
Was passiert denn mit der Achse bei einer Drehung?
>
> Naja neuer Versuch, nach der neuen Skizze :
>
> [mm]w_1[/mm] wird jetzt nach der Drehung zu [mm]v_1=(1[/mm] 0 [mm]0)^T[/mm]
War [mm] w_1 [/mm] nicht der Vektor in Richtung z-Achse, also in Richtung Drehachse?
> [mm]w_2=(1[/mm] 0 [mm]0)^T[/mm] wird nach der Drehung zu [mm]v_2=(0[/mm] 0 [mm]1)^T[/mm]
Wenn Du um 90° um die y-Achse drehst, dann ja...
> Wenn das auch falsch ist, dann weiß ich auch nicht.
Ich glaube, Du solltest mal basteln.
Du brauchst Papier, Architektenpapier (Transparentpapier) und eine Stricknadel.
Zeichne ein xy-Koordinatensystem. In den Ursprung spießt Du die Nadel, so daß sie senkrecht auf dem Tisch steht.
Leg nun das Architektenpapier auf die xy-Ebene und zeichne den ersten Einheitsvektor, [mm] e_1=\vektor{1\\0\\0} [/mm] ein.
(Wir lassen jetzt mal den Sch... mit den w-Vektoren, das sorgt hier echt nur für Wirrnis.)
So. Nun drehst Du ihn um 45° um die z-Achse.
Feststellung: er bleibt in der xy-Ebene.
Der Vektor liegt jetzt genau auf der Winkelhalbierenden zw. der pos. x- und der pos. y- Achse.
Und? Wie lautet der neue Vektor?
Weiter geht's.
Dasselbe Spielchen machst Du jetzt mit [mm] e_2=\vektor{0\\1\\0}.
[/mm]
Wo kommt er zu liegen? Koordinaten?
Zu guter Letzt überlegst Du, was mit [mm] e_3=\vektor{0\\0\\1} [/mm] passiert, wenn Du um die z-Achse drehst.
Wenn Du nun nebeneinander [mm] \phi(e_1), \phi(e_2), \phi(e_3) [/mm] in eine Matrix stellst, hast Du die Darstellungsmatrix der Drehung bzgl der Standardbasis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Mi 25.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Okay nicht aufgeben.
So wie du mir das ganze jetzt geschildert hast, würde ich sagen:
[mm] e_1=(1 [/mm] 0 [mm] 0)^T [/mm] wird zu -> (1 0 [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] e_2=(0 [/mm] 1 [mm] 0)^T [/mm] wird zu -> (0 1 [mm] 0)^T
[/mm]
[mm] e_3=(0 [/mm] 0 [mm] 1)^T [/mm] wird zu -> (0 0 [mm] -1)^T
[/mm]
die Vektoren bleiben also weitesgehend so bestehen, wie sie vorher waren.
Stimmt das jetzt ?
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> Okay nicht aufgeben.
Hallo,
ich bin jetzt kurz vorm Nervenzusammenbruch...
> So wie du mir das ganze jetzt geschildert hast, würde ich
> sagen:
>
> [mm]e_1=(1[/mm] 0 [mm]0)^T[/mm] wird zu -> (1 0 [mm]0)^T[/mm]
>
> [mm]e_2=(0[/mm] 1 [mm]0)^T[/mm] wird zu -> (0 1 [mm]0)^T[/mm]
>
> [mm]e_3=(0[/mm] 0 [mm]1)^T[/mm] wird zu -> (0 0 [mm]-1)^T[/mm]
>
> die Vektoren bleiben also weitesgehend so bestehen, wie sie
> vorher waren.
>
> Stimmt das jetzt ?
Nein, es stimmt überhaupt nicht.
A.
Es ist doch die Drehachse in Richtung [mm] e_3, [/mm] oder bin ich jetzt meschugge?
Wenn das so ist: verändert sich [mm] e_3 [/mm] durch die Drehung?
Die Achse Deine Fahrrades, ist sie während der Fahrt immer woanders?
Bei Dir klappt [mm] e_3 [/mm] unter der Drehung um.
B.
Von Deinen 3 Vektoren ändern sich 2 unter der Drehung um eine Ache überhaupt nicht.
Das kann doch nicht sein!
Weißt Du überhupt, was eine Drehung um eine Achse ist?
Vereinfachen wir die Aufgabe.
Wir gehen in den [mm] \IR^2 [/mm] und drehen dort um 45° um den Ursprung des Koordinatensystems.
Worauf wird [mm] \vektor{1\\0} [/mm] abgebildet, worauf der Vektor [mm] \vektor{0\\1}?
[/mm]
Eine Drehung um die z-Achse ist nicht viel anders...
Vielleicht prüfst Du nochmal, ob Du wirkllich gerade die dort gestellte Aufgabe bearbeitest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 25.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
wenn wir um [mm] e_3 [/mm] drehen, bleibt [mm] e_3 [/mm] erhalten..
die werte für [mm] e_3 [/mm] ändern sich also nicht, richtig?
ich blick da überhaupt nicht mehr durch...
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> wenn wir um [mm]e_3[/mm] drehen, bleibt [mm]e_3[/mm] erhalten..
> die werte für [mm]e_3[/mm] ändern sich also nicht, richtig?
Genau.
Wenn wir mit [mm] \phi [/mm] die Drehung um die z-Achse um 45° bezeichnen, so ist [mm] \phi(e_3)=e_3.
[/mm]
>
> ich blick da überhaupt nicht mehr durch...
Formuliere Dein Problem.
Und mach das mal mit der Drehung im [mm] \IR^2, [/mm] was ich Dir zuvor riet.
Gruß v. Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mi 25.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich kann mir diese Drehungen einfach nicht vorstellen,
ich habe schon genug Skizzen hier rumliegen.
Weder das x,y noch das 3D Koordinatensystem bringen mir nichts.
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> Ich kann mir diese Drehungen einfach nicht vorstellen,
Hallo,
das kann ich mir kaum vorstelln.
Gehen wir in die Ebene.
Eine Drehung um 45° um den Ursprung des Koordinatensystems ist nun wirklich nichts, was ein hochentwickeltes räumliches Anschauungsvermögen erfordert, und da Du im Hochschulforum postest, gehe ich stark davon aus, daß Du die Mittelstufe mindestens einer Realschule besucht hast, wo man ganze Figuren dreht.
Nun, versuchen wir einen Hilferuf:
Wäre jemand so nett, hier mal für mml2011 ein Bildchen einzustellen, in welchem man sehen kann, was mit [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm] passiert, wenn man sie um 45° dreht?
Gruß v. Angela
> ich habe schon genug Skizzen hier rumliegen.
> Weder das x,y noch das 3D Koordinatensystem bringen mir
> nichts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Adamantin |
Habe mir die Mühe gemacht, es händisch mal zeichnerisch zu erklären, ich hoffe, damit ist die Sache jetzt klarer. Bei Fragen einfach fragen
rot sind die neuen x,y-Koordinaten der abgebildeten Vektoren.
Ich habe leider vergessen, bei [mm] e_2 [/mm] den Winkel [mm] \phi [/mm] einzuzeichnen, der Winkel wäre zwischen [mm] e_2 [/mm] und seinem Abbild [mm] $\Phi(e_2)$. [/mm] Dann solltest du alles nachvollziehen können.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Adamantin |
Das habe ich nicht geschrieben! Ich habe mehrfach dargelegt, dass dieser Vektor so bleibt, wie er ist. Ich habe dir für den Vektor [mm] (1,0,0)^T [/mm] einen Vorschlag gemacht und ja, ich habe ihn der Einfachheit halber verlängert, richtig wäre [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] für beide Komponenten, doch deswegen ist [mm] (1,1,0)^T [/mm] nicht falsch ;) Das nur zur Nachkorrektur
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> Das habe ich nicht geschrieben! Ich habe mehrfach
> dargelegt, dass dieser Vektor so bleibt, wie er ist. Ich
> habe dir für den Vektor [mm](1,0,0)^T[/mm] einen Vorschlag gemacht
> und ja, ich habe ihn der Einfachheit halber verlängert,
> richtig wäre [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] für beide Komponenten,
> doch deswegen ist [mm](1,1,0)^T[/mm] nicht falsch ;)
Hallo,
als Bild von [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] ist das falsch, und das [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}-fache [/mm] ist richtig. Da gibt's nichts zu deuteln.
Danke fürs Bild! Ich kann sowas leider nicht. (Zeichnen schon, aber nicht in meinen PC bekommen. Einfach davor halten und copy drücken klappt irgendwie nicht...)
Gruß v. Angela
> Das nur zur
> Nachkorrektur
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Adamantin |
Hoffen wir, es hilft ihm.
Und entschuldigung für meine falsche Aussage, das Bild muss natürlich eindeutig sein, dann habe ich es mir zu leicht gemacht und lediglich einen kollinearen Vektor zum Bild angegeben, also werde ich das in meinen Posts entsprechend korrigieren, danke für den Hinweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Di 24.05.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich habe [mm] w_2 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] nach dem Vektor von Angelika bestimmt.
Die sind doch so richtig und stehen ja auch senkrecht aufeinander! (???) Dann habe ich danach die Matrix aufgestellt wie ich sie auch in der ersten Teilaufgabe aufgestellt hatte..
Aaaah :O irgendwie bin ich jetzt ganz durcheinander :/
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> Ich habe [mm]w_2[/mm] und [mm]w_3[/mm] nach dem Vektor von Angelika
> bestimmt.
Hallo,
es ist inzwischen nicht mehr klar zu erkennen, von welchen Vektoren Du sprichst.
Eine mögliche Basis wäre
[mm] w_1:=e_3,
[/mm]
[mm] w_2:=e_3
[/mm]
[mm] w_3:=e_1,
[/mm]
so wie Du es irgendwo auch hattest.
> Die sind doch so richtig und stehen ja auch senkrecht
> aufeinander! (???)
Ja.
Gruß v. Angela
> Dann habe ich danach die Matrix
> aufgestellt wie ich sie auch in der ersten Teilaufgabe
> aufgestellt hatte..
>
> Aaaah :O irgendwie bin ich jetzt ganz durcheinander :/
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