Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:39 So 18.12.2011 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie in Aufgabe 26b) mit Hilfe einer der dort bestimmten Matrizen die
Abbildung F³ := F [mm] \circ [/mm] F [mm] \circ [/mm] F.
b) Zeigen Sie: Ist F : V --> V linear und [mm] F^m [/mm] = 0 für ein m [mm] \in [/mm] N, dann ist [mm] id_V [/mm] − F bijektiv. (Tip:
Finden Sie mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe eine Umkehrabbildung.) |
26b war)Sei F : [mm] K^3 [/mm] --> [mm] K^3 [/mm] die Abbildung
(a) ( c )
(b)--> (-a+b )
(c) (-a+b-c)
A. Bestimmen Sie
− eine Matrix A [mm] \in K^3×3 [/mm] mit F = [mm] F_A [/mm] ( F ist linear)
− die Matrix [mm] M^B_B
[/mm]
B (F) f¨ur die Basis B := [mm] (e_1 [/mm] + [mm] e_2, e_2 [/mm] + [mm] e_3, e_2)
[/mm]
(wie üblich bezeichnet [mm] e_i [/mm] den i-ten Einheitsvektor).
Kann mir das jemand irgendwie erklären?! war aufm geburtstag meiner schwester. hab das skrpit aber versteh ungefähr gar nix!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> a) Berechnen Sie in Aufgabe 26b) mit Hilfe einer der dort
> bestimmten Matrizen die
> Abbildung F³ := F [mm]\circ[/mm] F [mm]\circ[/mm] F.
> b) Zeigen Sie: Ist F : V --> V linear und [mm]F^m[/mm] = 0 für ein
> m [mm]\in[/mm] N, dann ist [mm]id_V[/mm] − F bijektiv. (Tip:
> Finden Sie mit Hilfe der Formel für die geometrische
> Reihe eine Umkehrabbildung.)
> 26b war)Sei F : [mm]K^3[/mm] --> [mm]K^3[/mm] die Abbildung
>
> (a) ( c )
> (b)--> (-a+b )
> (c) (-a+b-c)
> A. Bestimmen Sie
> − eine Matrix A [mm]\in K^3×3[/mm] mit F = [mm]F_A[/mm] ( F ist linear)
> − die Matrix [mm]M^B_B[/mm]
> B (F) f¨ur die Basis B := [mm](e_1[/mm] + [mm]e_2, e_2[/mm] + [mm]e_3, e_2)[/mm]
>
> (wie üblich bezeichnet [mm]e_i[/mm] den i-ten Einheitsvektor).
> Kann mir das jemand irgendwie erklären?! war aufm
> geburtstag meiner schwester. hab das skrpit aber versteh
> ungefähr gar nix!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mach Dich bitte mit der Formeleingabe vertraut.
Je nachdem, welche Version Du verwendest, findest Du Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters, oder Du kannst oberhalb des Eingabefensters auf das rote Summenzeichen klicken.
Darf ich davon ausgehen daß Du Aufgabe 26b), auf welche sich Deine Aufgabe bezieht, noch nicht gelöst hast? Die brauchen wir natürlich.
Sie wird gerade hier im Forum bearbeitet.
Du kannst Dich dort gerne beteiligen und natürlich die für diese Aufgabe benötigten Ergebnisse dort entnehmen.
Wenn Du sagst, daß Du im Skript ungefähr nichts verstehst ist das natürlich schlecht. Das Forum kann den Besuch der Lehrveranstaltungen und das Studium der Literatur nicht ersetzen.
Wenn Du aber zu einzelnen Punkten konkrete Fragen hast, helfen wir gerne.
Du müßtest also sagen, was genau Du nicht verstehst.
Für Aufgabe a) ist zunächst einmal wichtig: wenn M die Darstellungsmatrix von F ist, dann ist [mm] M^3 [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] F^3.
[/mm]
Im Prinzip kannst Du diese Aufgabe also lösen, indem Du die Darstellungsmatrix dreimal mit sich selbst multiplizierst und aus der entstandenen Matrix dann die Abbildungsvorschrift holst.
Also: es ist [mm] F^3(x)=M^3x.
[/mm]
Wahrscheinlich - ich habe den Fortgang des anderen Threads nch nicht angesehen - ist dies nicht am wenigsten mühsame Vorgehensweise.
Es ist davon auszugehen, daß mit [mm] M^B_B(F) [/mm] etwas gemütlicher zu rechnen ist. Du kannst zunächst $ [mm] (M^B_B(F))^3 [/mm] $ berechnen. Damit hast Du die Darstellungsmatrix von [mm] F^3 [/mm] in Koordinaten bzgl B, also [mm] M_B^B(F^3).
[/mm]
Die müßte dann in eine solche bezgl Standardkoordinaten umgewandelt werden - aber sehen wir doch erstmal, was herauskommt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 18.12.2011 | | Autor: | Gnocchi |
> Für Aufgabe a) ist zunächst einmal wichtig: wenn M die
> Darstellungsmatrix von F ist, dann ist [mm]M^3[/mm] die
> Darstellungsmatrix von [mm]F^3.[/mm]
> Im Prinzip kannst Du diese Aufgabe also lösen, indem Du
> die Darstellungsmatrix dreimal mit sich selbst
> multiplizierst und aus der entstandenen Matrix dann die
> Abbildungsvorschrift holst.
> Also: es ist [mm]F^3(x)=M^3x.[/mm]
>
> Wahrscheinlich - ich habe den Fortgang des anderen Threads
> nch nicht angesehen - ist dies nicht am wenigsten mühsame
> Vorgehensweise.
> Es ist davon auszugehen, daß mit [mm]M^B_B(F)[/mm] etwas
> gemütlicher zu rechnen ist. Du kannst zunächst
> [mm](M^B_B(F))^3[/mm] berechnen. Damit hast Du die
> Darstellungsmatrix von [mm]F^3[/mm] in Koordinaten bzgl B, also
> [mm]M_B^B(F^3).[/mm]
> Die müßte dann in eine solche bezgl Standardkoordinaten
> umgewandelt werden - aber sehen wir doch erstmal, was
> herauskommt.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Hab nun folgendes raus:
Also bei 26b hab ich mir wie in dem Thread beschrieben mein [mm]M^B_B(F)[/mm] konstruiert. Da kam raus:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dann habe ich gerechnet:
[mm]M^B_B(F)[/mm] * [mm]M^B_B(F)[/mm] * [mm]M^B_B(F)[/mm]
Dadurch hab ich dann ja mein [mm](M^B_B(F))^3[/mm]
Welches bei mir
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
ist. Kann das sein?
Wenns so ist müsste ich ja an sich nichts mehr umwandeln von den Koordinaten her oder?
|
|
|
| |
|
> > Für Aufgabe a) ist zunächst einmal wichtig: wenn M die
> > Darstellungsmatrix von F ist, dann ist [mm]M^3[/mm] die
> > Darstellungsmatrix von [mm]F^3.[/mm]
> > Im Prinzip kannst Du diese Aufgabe also lösen, indem
> Du
> > die Darstellungsmatrix dreimal mit sich selbst
> > multiplizierst und aus der entstandenen Matrix dann die
> > Abbildungsvorschrift holst.
> > Also: es ist [mm]F^3(x)=M^3x.[/mm]
> >
> > Wahrscheinlich - ich habe den Fortgang des anderen Threads
> > nch nicht angesehen - ist dies nicht am wenigsten mühsame
> > Vorgehensweise.
> > Es ist davon auszugehen, daß mit [mm]M^B_B(F)[/mm] etwas
> > gemütlicher zu rechnen ist. Du kannst zunächst
> > [mm](M^B_B(F))^3[/mm] berechnen. Damit hast Du die
> > Darstellungsmatrix von [mm]F^3[/mm] in Koordinaten bzgl B, also
> > [mm]M_B^B(F^3).[/mm]
> > Die müßte dann in eine solche bezgl
> Standardkoordinaten
> > umgewandelt werden - aber sehen wir doch erstmal, was
> > herauskommt.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
>
> Hab nun folgendes raus:
> Also bei 26b hab ich mir wie in dem Thread beschrieben
> mein [mm]M^B_B(F)[/mm] konstruiert. Da kam raus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Dann habe ich gerechnet:
> [mm]M^B_B(F)[/mm] * [mm]M^B_B(F)[/mm] * [mm]M^B_B(F)[/mm]
>
> Dadurch hab ich dann ja mein [mm](M^B_B(F))^3[/mm]
>
> Welches bei mir
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
> ist. Kann das
> sein?
Hallo,
ja, richtig.
> Wenns so ist müsste ich ja an sich nichts mehr umwandeln
> von den Koordinaten her oder?
Genau. Nullabbildung ist Nullabbildung, egal in welchen Koordinaten.
Gruß v. Angela
>
|
|
|
|
