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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildungen, Unterraum
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Lineare Abbildungen, Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 So 30.11.2008
Autor: Heureka89

Aufgabe
Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung, sei V' Unterraum von V, W' Unterraum von W. Dann sind auch f(V`) und f^(-1)(W') Unterräume.

Also hier muss man, denk ich wieder Zwei Richtungen beweisen.
Kann man sagen, dass V' [mm] \to [/mm] W' auch eine lineare Abbildung ist?
Ich habe irgendwie keinen Ansatz, ein Tipp wäre hilfreich.

        
Bezug
Lineare Abbildungen, Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:57 So 30.11.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei f: V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung, sei V' Unterraum von
> V, W' Unterraum von W. Dann sind auch f(V') und f^(-1)(W')
> Unterräume.
>  
> Also hier muss man, denk ich wieder Zwei Richtungen
> beweisen.

???

>  Kann man sagen, dass V' [mm]\to[/mm] W' auch eine lineare Abbildung
> ist?

Wozu? Abgesehen davon steht auch nirgends, dass $f(V') [mm] \subset [/mm] W'$ gelten soll?

>  Ich habe irgendwie keinen Ansatz, ein Tipp wäre hilfreich.

Du hast die Unterraumaxiome zu prüfen:
Zu $f(V')$ (zu zeigen ist, dass $f(V)$ ein Unterraum von [mm] $\,W\,$ [/mm] ist!):

[mm] $\bullet$ [/mm] Warum ist $0 [mm] \in [/mm] f(V')$?

[mm] $\bullet$ [/mm] Wenn [mm] $w_1, w_2 \in [/mm] f(V')$: Warum gilt dann [mm] $w_1+w_2 \in [/mm] f(V')$?

[mm] $\bullet$ [/mm] (Ich nehme an, $V$ sei ein [mm] $\IK$-Vektorraum:) [/mm] Wenn [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] und $w [mm] \in [/mm] f(V'):$
Warum gilt dann [mm] $\lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] f(V')$?

Analog für [mm] f^{-1}(W') [/mm] (zu zeigen ist, dass [mm] $f^{-1}(W')$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $\,V\,$ [/mm] ist!):


[mm] $\bullet$ [/mm] Warum ist $0 [mm] \in f^{-1}(W')$? [/mm]

[mm] $\bullet$ [/mm] Wenn [mm] $v_1, v_2 \in f^{-1}(W')$: [/mm] Warum gilt dann [mm] $v_1+v_2 \in f^{-1}(W')$? [/mm]

[mm] $\bullet$ [/mm] Wenn [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] und $w [mm] \in f(V')\,:$ [/mm] Warum gilt dann [mm] $\lambda [/mm] w [mm] \in f^{-1}(W')$? [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildungen, Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Mo 01.12.2008
Autor: Heureka89

Danke erstmal,

nun ich habe ich versucht die Vektorraumaxiome zu beweisen, aber ich glaube dass es nicht ganz richtig ist.

Da V' [mm] \subset [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] V'.
Da wir hier eine lineare Abbildung haben, folgt aus f(0) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] f(V')

Seien [mm] x_1, x_2 \in [/mm] V' mit [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] w_1 [/mm] und [mm] f(x_2) [/mm] = [mm] w_2 [/mm]
Da f linear folgt: [mm] f(x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] = [mm] f(x_1) [/mm] + [mm] f(x_2) [/mm] = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] . Deshalb ist    f(V') abgeschlossen unter Addition.

Ist das bisher richtig argumentiert?

Bezug
                        
Bezug
Lineare Abbildungen, Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mo 01.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Danke erstmal,
>  
> nun ich habe ich versucht die Vektorraumaxiome zu beweisen,
> aber ich glaube dass es nicht ganz richtig ist.
>  
> Da V' [mm]\subset[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\in[/mm] V'.
>  Da wir hier eine lineare Abbildung haben, folgt aus f(0) =
> 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\in[/mm] f(V')
>  
> Seien [mm]x_1, x_2 \in[/mm] V' mit [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]w_1[/mm] und [mm]f(x_2)[/mm] = [mm]w_2[/mm]
>  Da f linear folgt: [mm]f(x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] = [mm]f(x_1)[/mm] + [mm]f(x_2)[/mm] = [mm]w_1[/mm] +
> [mm]w_2[/mm] .

Hallo,

da V' ein VR ist [mm] x_1+x_2 \in [/mm] V' und somit
also ist [mm] f(x_1)+f(x_2) =f(x_1+x_2) \in [/mm] f(V')

> Deshalb ist    f(V') abgeschlossen unter Addition.
>  
> Ist das bisher richtig argumentiert?

Ja.

Gruß v. Angela


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