Lineare Abhängigkeit < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Werte von [m]a[/m], für die die Menge [m]M_1 = \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix}[/m] linear abhängig wird. |
Hallo zusammen,
ich habe mir erstmal die Definition der linearen Unabhängigkeit angeschaut:
Eine Menge von Vektoren [m]\begin{Bmatrix} \vec x_1, \vec x_2, ..., \vec x_k \end{Bmatrix} \subseteq \IR^n[/m] heißt linear unabhängig, wenn für alle [m]\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k \in \IR[/m] gilt:
[m]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i \vec x_i = \mathbf 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = ... \lambda_k = 0[/m]
Negation und somit die Definition für die lineare Abhängigkeit wäre ja dann (?):
Eine Menge von Vektoren [m]\begin{Bmatrix} \vec x_1, \vec x_2, ..., \vec x_k \end{Bmatrix} \subseteq \IR^n[/m] heißt linear abhängig, wenn für mind. ein [m]\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k \in \IR[/m] gilt:
[m]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i \vec x_i = \mathbf 0 \, \wedge \, \lambda_1 = \lambda_2 = ... \lambda_k \not= 0[/m]
Ich habe dann ein bestimmtes Gleichungssystem (3 Gleichungen, 3 Unbekannte) aufgestellt und mit dem Gleich-/Einsetzungsverfahren die Variablen [m]\lambda_1 = -4, \lambda_2 = 12, \lambda_3 = -1, a = -4[/m] berechnet. Nun wird die Menge m.E. aber nicht linear abhängig (also mind. ein Vektor ist Vielfaches eines anderen Vektors)
Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank!
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Hallo,
> Bestimmen Sie alle Werte von [mm]a[/mm], für die die Menge [mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M_1 = \begin{Bmatrix}[/img]
> linear abhängig wird.
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir erstmal die Definition der linearen
> Unabhängigkeit angeschaut:
>
> Eine Menge von Vektoren [mm]\begin{Bmatrix} \vec x_1, \vec x_2, ..., \vec x_k \end{Bmatrix} \subseteq \IR^n[/mm]
> heißt linear unabhängig, wenn für alle [mm]\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k \in \IR[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i \vec x_i = \mathbf 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = ... \lambda_k = 0[/mm]
>
> Negation und somit die Definition für die lineare
> Abhängigkeit wäre ja dann (?):
>
> Eine Menge von Vektoren [mm]\begin{Bmatrix} \vec x_1, \vec x_2, ..., \vec x_k \end{Bmatrix} \subseteq \IR^n[/mm]
> heißt linear abhängig, wenn für mind. ein [mm]\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k \in \IR[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i \vec x_i = \mathbf 0 \, \wedge \, \lambda_1 = \lambda_2 = ... \lambda_k \not= 0[/mm]
>
> Ich habe dann ein bestimmtes Gleichungssystem (3
> Gleichungen, 3 Unbekannte) aufgestellt und mit dem
> Gleich-/Einsetzungsverfahren die Variablen [mm]\lambda_1 = -4, \lambda_2 = 12, \lambda_3 = -1, a = -4[/mm]
> berechnet. Nun wird die Menge m.E. aber nicht linear
> abhängig (also mind. ein Vektor ist Vielfaches eines
> anderen Vektors)
>
> Hat jemand einen Tipp für mich?
Ja: was du gemacht hast, ist völlig falsch, denn du hast a als Unbekannte betrachtet. Löse das LGS für die [mm] \lambda_i [/mm] in Abhängigkeit von a. Wähle dann a so, dass es unendlich viele LÖsungen gibt.
Gruß, Diophant
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Hallo zusammen,
ich habe mich mal wieder mit der Aufgabe beschäftigt:
'Definition' Lineare Abhängigkeit:
[m]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i \vec x_i = \mathbf 0 \, \wedge \, \exists \, \lambda_i \not= 0 \, , i = 1,2,3 [/m]
Die Vektoren der Menge [m]M_1[/m] lassen sich als Linearkombination als Nullvektor darstellen und es gibt mind. ein [m]\lambda[/m] für das gilt: [m]\lambda \not= 0[/m]
Also [m] \lambda_1 * \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda_2 * \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3 * \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \gdw \lambda_1 = -4\lambda_3, \, \lambda_2 = -3\lambda_1, \, -4*\lambda_3 + a*\lambda_3 = 0 [/m]
Kann ich dann davon ausgehen, dass [m]a = 4[/m] gelten muss?
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Hallo,
> Hallo zusammen,
> ich habe mich mal wieder mit der Aufgabe beschäftigt:
>
> 'Definition' Lineare Abhängigkeit:
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i \vec x_i = \mathbf 0 \, \wedge \, \exists \, \lambda_i \not= 0 \, , i = 1,2,3[/mm]
>
> Die Vektoren der Menge [mm]M_1[/mm] lassen sich als
> Linearkombination als Nullvektor darstellen
Der Nullvektor lässt sich als LK der Vektoren aus [mm] $M_1$ [/mm] darstellen ...
> und es gibt
> mind. ein [mm]\lambda[/mm]
ein [mm] $\lambda_i$ [/mm] - der Konsistenz wegen
> für das gilt: [mm]\lambda \not= 0[/mm]
>
> Also [mm]\lambda_1 * \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda_2 * \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3 * \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \gdw \lambda_1 = -4\lambda_3, \, \lambda_2 = -3\lambda_1, \, -4*\lambda_3 + a*\lambda_3 = 0[/mm]
Das sehe ich so ohne Rechnung auf Anhieb nicht ...
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> Kann ich dann davon ausgehen, dass [mm]a = 4[/mm] gelten muss?
Davon ausgehen sicher nicht, aber ich nehme an, dass du das errechnet hat. Es stimmt jedenfalls, dass die Vektoren für $a=4$ linear abh. sind ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Fr 04.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
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> Kann ich dann davon ausgehen, dass [m]a = 4[/m] gelten muss?
Ja, aber warum packst du nicht deine drei Vektoren in eine 3x3 Matrix, berechnest deren Determinante (16-4a) und überlegst, wann diese Null wird?
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Hi,
vermutlich, weil er (oder sie) über die Definition gehen sollte/wollte?!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Sa 05.07.2014 | | Autor: | gummibaum |
Genau so sieht es aus!
Also ist für a = 4 die Menge [mm] M_1 [/mm] linear abhängig.
Super, vielen Dank!
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