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Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:57 So 22.04.2018
Autor: James90

Hallo!

Sei V ein K-VR, [mm] $(x_1,...,x_n)\in [/mm] V$, f linear.

Richtig: [mm] f(x_1),...,f(x_n) [/mm] linear unabhängig -> [mm] x_1,...,x_n [/mm] linear unabhängig (*)
Falsch: [mm] x_1,...,x_n [/mm] linear unabhängig -> [mm] f(x_1),...,f(x_n) [/mm] linear unabhängig

Aus (*) folgt: [mm] x_1,...,x_n [/mm] linear abhängig -> [mm] f(x_1),...,f(x_n) [/mm] linear abhängig.

Wie kann ich nun direkt daraus folgern, dass [mm] f(x_1),...,f(x_n) [/mm] linear abhängig -> [mm] x_1,...,x_n [/mm] linear abhängig falsch ist?

Vielen Dank
James

        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:18 So 22.04.2018
Autor: angela.h.b.


> Sei V ein K-VR, , f linear.

>

> Richtig: linear unabhängig ->
> linear unabhängig (*)
> Falsch: linear unabhängig ->
> linear unabhängig

>

> Aus (*) folgt: linear abhängig ->
> linear abhängig.

>

> Wie kann ich nun direkt daraus folgern, dass
> linear abhängig -> linear
> abhängig falsch ist?

Guten Morgen,

die Implikation A==>B
und ihre Kontaposition nichtB==>nichtA
sind äquivalent. Ist das eine wahr, dann auch das andere, ist das eine falsch, dann auch das andere.

Du weißt
[mm] x_1,...,x_n [/mm] linear unabhängig -> [mm] f(x_1),...,f(x_n) [/mm] linear unabhängig
ist falsch.

Also ist auch die Kontraposition
[mm] f(x_1),...,f(x_n) [/mm] nicht linear [mm] unabhängig==>x_1,...,x_n [/mm] nicht linear abhängig
falsch.

LG Angela
 

Bezug
                
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:00 So 22.04.2018
Autor: James90


> > Sei V ein K-VR, , f linear.
>  >
>  > Richtig: linear unabhängig ->

>  > linear unabhängig (*)

>  > Falsch: linear unabhängig ->

>  > linear unabhängig

>  >
>  > Aus (*) folgt: linear abhängig ->

>  > linear abhängig.

>  >
>  > Wie kann ich nun direkt daraus folgern, dass

>  > linear abhängig -> linear

>  > abhängig falsch ist?

>  
> Guten Morgen,
>  
> die Implikation A==>B
>  und ihre Kontaposition nichtA==>nichtB

Ist dachte, dann gilt nur: nicht B ==> nicht A...

>  sind äquivalent. Ist das eine wahr, dann auch das andere,
> ist das eine falsch, dann auch das andere.
>  
> Du weißt
>  [mm]x_1,...,x_n[/mm] linear unabhängig -> [mm]f(x_1),...,f(x_n)[/mm] linear

> unabhängig
>  ist falsch.
>  
> Also ist auch die Kontraposition
>  [mm]f(x_1),...,f(x_n)[/mm] nicht linear [mm]unabhängig==>x_1,...,x_n[/mm]
> nicht linear abhängig
>  falsch.

Hier benutzt du doch aber auch die Kontraposition nicht B ==>  nicht A..
Trotzdem eine Frage: Hierbei ist A ==> B falsch. Folgt daraus nicht beliebiges?

Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 So 22.04.2018
Autor: angela.h.b.


> > > Sei V ein K-VR, , f linear.
> > >
> > > Richtig: linear unabhängig ->
> > > linear unabhängig (*)
> > > Falsch: linear unabhängig ->
> > > linear unabhängig
> > >
> > > Aus (*) folgt: linear abhängig ->
> > > linear abhängig.
> > >
> > > Wie kann ich nun direkt daraus folgern, dass
> > > linear abhängig -> linear
> > > abhängig falsch ist?
> >
> > Guten Morgen,
> >
> > die Implikation A==>B
> > und ihre Kontaposition nichtA==>nichtB

Ich bin ein Depp!
Hab' es anders geschrieben, als ich wollte.
Die Kontraposition ist natürlich
nichtB==>nichtA,
und dann ergibt das von mir vorhin Geschriebene auch Sinn.

Entschuldigung!

LG Angela

>

> Ist dachte, dann gilt nur: nicht B ==> nicht A...

>

> > sind äquivalent. Ist das eine wahr, dann auch das andere,
> > ist das eine falsch, dann auch das andere.
> >
> > Du weißt
> > [mm]x_1,...,x_n[/mm] linear unabhängig -> [mm]f(x_1),...,f(x_n)[/mm]
> linear
> > unabhängig
> > ist falsch.
> >
> > Also ist auch die Kontraposition
> > [mm]f(x_1),...,f(x_n)[/mm] nicht linear
> [mm]unabhängig==>x_1,...,x_n[/mm]
> > nicht linear abhängig
> > falsch.

>

> Hier benutzt du doch aber auch die Kontraposition nicht B
> ==> nicht A..
> Trotzdem eine Frage: Hierbei ist A ==> B falsch. Folgt
> daraus nicht beliebiges?

>

> Vielen Dank!


Bezug
                        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 So 22.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Trotzdem eine Frage: Hierbei ist A ==> B falsch. Folgt daraus nicht beliebiges?

Ja, das bedeutet aber schlichtweg, dass für jedes beliebige Drittaussage C die verknüpfte Implikation $(A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] C$ immer wahr ist.

Das bedeutet nicht, dass die Kontraposition von $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ darum "beliebig" folgt… der Wahrheitswert der Kontraposition ist immer derselbe wie von $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$.

D.h. ist [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ wahr, so auch [mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$, ist [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ dagegen falsch, so auch [mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$.

Gruß,
Gono

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