Lineare Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Sidonie |
Hallo! Ich habe Probs bei folgender Aufgabe: V sei ein Vektorraum über [mm] \IQ. [/mm] Seien w,x,y,z, [mm] \in [/mm] V.
(a) Zeigen Sie: Die Vektoren v1= w+x+y+z , v2= 2w+2x+y-z , v3= w+x+3y-z , v4= -x+y-z , v5= w-y+x sind linear abhängig.
Also ich weiß ja, dass hier gilt, dass [mm] \alpha_{1}v1+ \alpha_{2}v2+ \alpha_{3}v3+ \alpha_{4}v4+\alpha_{5}v5= [/mm] 0
mit [mm] \alpha_{i} \not= [/mm] 0 für mindestens ein i.
Aber wie zeig ich das hier dann genau???
(b) Unter welcher Bedingung an w,x,y,z sind schon v1,..,v4 linear abhängig?
Hier fällt mir nur als Ansatz ein, dass w,x,y,z, linear abhängig sein müssten, wenn v1,...,v4 das sein sollen. Aber wie ich das durch ne Rechnung zeige, ist mir ein Rätsel.
Freue mich über jede Hilfe und bin sehr dankbar dafür!
LG Sidonie
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> Hallo!
Hallo!
Ich habe Probs bei folgender Aufgabe: V sei ein
> Vektorraum über [mm]\IQ.[/mm] Seien w,x,y,z, [mm]\in[/mm] V.
> (a) Zeigen Sie: Die Vektoren v1= w+x+y+z , v2= 2w+2x+y-z ,
> v3= w+x+3y-z , v4= -x+y-z , v5= w-y+x sind linear
> abhängig.
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> Also ich weiß ja, dass hier gilt, dass [mm]\alpha_{1}v1+ \alpha_{2}v2+ \alpha_{3}v3+ \alpha_{4}v4+\alpha_{5}v5=[/mm]
> 0
> mit [mm]\alpha_{i} \not=[/mm] 0 für mindestens ein i.
Du meinst, daß Du das zeigen mußt für lineare Abhängigkeit.
(Oder hast Du Dir das schon ausgerechnet? Dann müßtest Du nur diese Linearkombination aufschreiben und wärest fertig.)
Man muß hier aber gar nichts rechnen. Es sind vier Vektoren gegeben. Der von ihnen aufgespannte Raum hat höchstens die Dimension 4. Die fünf [mm] v_i [/mm] sind Elemente dieses Raumes und somit linear abhängig. Denn in diesem Raum können nur jeweils
höchstens vier Vektoren linear unabhängig sein.
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> (b) Unter welcher Bedingung an w,x,y,z sind schon v1,..,v4
> linear abhängig?
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> Hier fällt mir nur als Ansatz ein, dass w,x,y,z, linear
> abhängig sein müssten, wenn v1,...,v4 das sein sollen. Aber
> wie ich das durch ne Rechnung zeige, ist mir ein Rätsel.
Du könntest zeigen:
wenn w,x,y,z lin. unabh. ==> [mm] v_1,v_2,v_3,v_4 [/mm] sind linear unabhängig.
Dies ist gleichbedeutend mit
[mm] v_i [/mm] linear abh. ==> w,x,y,z linear abhängig.
Gruß v. Angela
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