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Forum "Vektoren" - Lineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Mi 06.09.2006
Autor: splin

Aufgabe
Bestimme die Koordinate x so, daß die folgenden Vektoren linear abhängig sind!
Gibt es mehr als eine Lösung?
[mm] a1=\vektor{3 \\ -1\\0}, a2=\vektor{0 \\ 3\\0}, a3=\vektor{x \\ 5\\0} [/mm]

Ich bin mit folgendem Ansatz angefangen:
[mm] r\vec{a1}+s\vec{a2}+t\vec{a3}=\vec{0} [/mm]

Die Vektoren angesetzt habe ich folgende Gleichungen erhalten:

1. 3r+tx=0
2. -r+3s+5t=0
3. 0=0

die zweite mit (-3) multipliziert und mit der ersten addiert:
[mm] \Rightarrow [/mm] 9s+t(15+x)=0

Tja, hier bin ich stehen geblieben. Es sind zu viele Unbekanten.

Weißt jemand wie es weiter geht ? Oder war meine Vorgehensweise falsch?

        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Mi 06.09.2006
Autor: Fulla

hi splin!

deine gleichungen stimmen!
du könntest jedoch eine der variablen r, s und t weglassen (bzw. =1 setzen):
denn aus [mm]r*a_1+s*a_2+t*a_3=0[/mm] wird durch division z.B. durch t:

[mm]\bruch{r}{t}*a_1+\bruch{s}{t}*a_2+a_3=0[/mm] (das ist erlaubt, weil die koeffizienten ja nicht null sein dürfen - sonst wäre es ja eine triviale lösung!)

die brüche erstetzt du jetzt durch neue konstanten - z.b. u und v:

[mm]u*a_1+v*a_2+a_3=0[/mm]

aber selbst mit diesem trick bleiben noch "zu viele" unbekannte übrig:

(I): [mm]3u+x=0[/mm]
(II): [mm]-u+3v+5=0[/mm]

--> (III) [mm]x+9v+15=0[/mm]

es gibt also keine eindeutige lösung... theoretisch wären alle reelen zahlen eine lösung, aber da ja weder u noch v =0 sein dürfen folgt:

[mm]x\in\IR\setminus\{-15;0\}[/mm] (denn für [mm]x=-15[/mm] folgt [mm]v=0[/mm] und für [mm]x=0[/mm] folgt [mm]u=0[/mm])


ich hoffe das war verständlich ^^
lieben gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:19 Mi 06.09.2006
Autor: splin

Vielen Dank Fulla !!!



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