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Forum "Vektoren" - Lineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Do 07.09.2006
Autor: splin

Aufgabe
Bestimme die Koordinate x so, dass die folgenden Vektoren linear abhängig sind.
[mm] \vec{a1}=\vektor{1 \\ 0\\1};\vec{a2}= \vektor{-1 \\ 1\\0};\vec{a3}=\vektor{-1 \\ x\\-5} [/mm]

Ich habe folgenden Ansatz:
[mm] r\vec{a1}+s\vec{a2}+t\vec{a3}=\vec{0} [/mm]

Die Koordinaten eingesetz habe ich drei Gleichungen erhalten:

1. r-s-t=0
2.s+tx=0
3.r-5t=0 --> r=5t

1.+2.-->r-t+tx=0 --> r=t(1+x)
--> 5t=t(1+x)  durch t --> x=4

Jetzt will ich zeigen dass die linear abhängig sind:

Der selbe Ansatz nur mit x=4
--> 1.r-s-t=0
      2.s+4t=0
      3.r-5t=0
1.+2.--> r+3t=0 * (-1)--> -r-3t=0 Gl.4.
4+3.--> -8t=0 -->t=0
Wenn ich t=0 einsetze dann erhalte ich s=0 und r=0
und somit sind die linear unabhängig.
Die Aufgabestellung lautet aber: Bestimme die Koordinate x so, dass die folgenden Vektoren linear abhängig sind.


        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Do 07.09.2006
Autor: riwe

hallo zum zweiten,
die ist aber leichter, was sagte da der lehrer?
setze
[mm] \vektor{-1\\x\\-5}=a\vektor{1\\0\\1}+b\vektor{-1\\1\\0} [/mm]
und bestimme x so, dass kein widerspruch entsteht.



Bezug
                
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Do 07.09.2006
Autor: splin

also dann habe ich folgende Gleichungen:

-1=a-b
x=b
-5=a

daraus folgt das x=4
stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Do 07.09.2006
Autor: EvenSteven


> also dann habe ich folgende Gleichungen:
>  
> -1=a-b
>  x=b
>  -5=a
>  
> daraus folgt das x=4
>  stimmt das?

Nein, Vorsicht bei der ersten Gleichung (Vorzeichen von b). Nach dir gibt das dort
[mm]a-b=-5-4=-9 \not= -1[/mm]

Gruss

EvenSteven


Bezug
                        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Do 07.09.2006
Autor: riwe

wie wäre es mit x = -4?

Bezug
        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Do 07.09.2006
Autor: Barncle

Hallo!

Das ganze geht aber auch einfacher!
Also wenn du die drei Vektoren zu einer Matrix zusammensetzt, und diese dann auf ihren Rang überprüfst (mit elementaren zeilenumformungen) dann siehst du für welches x der Rang gleich 2 ist und das heißt, dass sie linear abhöngig sind...

Grüße

Bezug
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