Lineare Abhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 18.01.2005 | | Autor: | Ferenius |
Hab mich schon viel mit dieser Aufgabe beschäftigt, komme aber auf kein befriedigendes Ergebnis:
für welche Werte von a sind folgende Vektoren linear abhängig?
[mm] \vec{a}= \vektor{a \\ 1 \\ 2} \vec{b}=\vektor{5 \\ 6 \\ 1} \vec{c}=\vektor{3 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
ich weiß, dass zum Beispiel Vektor a und c kollienar sind, das reicht aber nicht aus, außerdem gibt es einen Beweis dafür, dass die drei nicht liear unabhängig sind....wenn mir jemand diesen ganzen sachverhalt mal genauer erläutern könnte, wäre mir sehr geholfen
gruß wolf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Di 18.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Ferenius
das ist so wie bei einer Schatzsuche. Gehe 7 Schritte in die, dann noch 2 Schritte in die andere Richtung, dann findest du den Schatz!
Leider hat der Pirat nicht gesagt, dass der Schatz auch noch 3 Meter tief vergraben ist!
Deine Schritte und der Schatz sind linear unbhängig, weil du mit den vorgegebenen Richtungen den Schatz nie erreichen kannst!
Wenn du einige Vektoren gegeben hast, ist das genau gleich: wenn du einen Vektor (welchen, ist egal) nimmst, und du kannst diesen mit Hilfe der anderen Vektoren erreichen, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Als Beispiel:
Der Schatz liegt bei [mm] $\vektor{12\\9\\25}$.
[/mm]
Die Anweisung lautet: gehe 2 Schritte in Richtung [mm] $\vektor{1\\2\\5}$ [/mm] und 5 Schritte in Richtung [mm] $\vektor{2\\1\\3}$. [/mm] Bist du jetzt beim Schatz?
Ja, denn es [mm] gilt:$2*\vektor{1\\2\\5}+5*\vektor{2\\1\\3}=\vektor{12\\9\\25}$
[/mm]
Genau so hast du die Aufgabe zu lösen. Verstecke den Schatz bei einem Vektor und frage dich: ist es möglich, den Schatz mit den Bewegungsrichtungen zu erreichen, die durch die anderen Vektoren gegeben sind?
Etwas mathematischer:
Gegeben sind die 3 Vektoren [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}$.
[/mm]
Lassen sich jetzt Zahlen $s_$ und $t_$ finden, so dass gilt:
[mm] $s*\vec{a}+t*\vec{b}=\vec{c}$
[/mm]
Falls sich solche Zahlen finden lassen, sind die Vektoren linear abhängig, sonst nicht.
Dein Beispiel also:
[mm] $s\vektor{5\\6\\1}+t*\vektor{3\\2\\4}=\vektor{a\\1\\2}$
[/mm]
Das ist bekanntlich ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen, weil jede einzelne Komponente der beteiligten Vektoren die Gleichung erfüllen muss.
Das Gleichungssystem ist somit:
$5s+3t=a$
$6s+2t=1$
$s+4t=2$
Jetzt brauchst du nur das Gleichungssystem nach s und t aufzulösen! Da wird dann immer noch a auftauchen. Wenn a so gewählt wird, dass das überbestimmte Gleichungssystem keine Widersprüche enthält, dann sind die Vektoren für dieses a linear abhängig.
Für jene Werte von a, wo Widersprüche entstehen, lassen sich ja keine s und t finden: die Vektoren sind dann linear unabhängig. 
Kannst du also mal die Aufgabe in Angriff nehmen und uns dein Ergebnis mitteilen? Falls du wider Erwarten Schwierigkeiten haben solltest, dann meldest du dich mit den entsprechenden Fragen einfach wieder.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 18.01.2005 | | Autor: | Ferenius |
also, auch mit dieser Erklärung(danke!) komm ich auf kein anderes Ergebnis, als das s=0 sein muss, t=0,5 und a damit 1,5...gibts da noch ne andere lösung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ferenius
> also, auch mit dieser Erklärung(danke!) komm ich auf kein
> anderes Ergebnis, als das s=0 sein muss, t=0,5 und a damit
> 1,5...gibts da noch ne andere lösung?
>
Ja, das ist genau die Lösung!
Es gibt keine andere Lösung! Die beiden Vektoren ohne a drin sind ja linear unabhängig. Sie können also als Basis der von ihnen aufgespannten Ebene betrachtet werden. Und du weisst ja: die Koordinaten eines Vektors bezüglich einer bestimmten Basis sind eindeutig. Hier wären die Koordinaten also (0,1/2) bezüglich dieser Basis.
Oder etwas anders betrachtet: wenn du eine Ebene im 3-dimensionalen Raum hast und von einem Punkt der Ebene 2 Koordinaten vorgegeben sind, dann ist die 3. Koordinate eindeutig bestimmt (wenn nicht gerade die Ebene Parallel zu einer Koordinatenachse verläuft). In unserem Fall ist a also eindeutig bestimmt. Die Ebene ist ja gegeben durch 2 Vektoren, und vom 3. Vektor (Punkt der Ebene) sind 2 Koordinaten vorgegeben.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
