Lineare Abhängigkeit < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Di 27.05.2008 | | Autor: | gaugau |
| Aufgabe | | [mm] \vec{g}=\vektor{1 \\ a \\ 2}, \vec{h}=\vektor{c \\ 0 \\ 3} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe hier zwei Vektoren g und h, bei denen ich den Variablen a und c einen derartigen Wert gebe, dass die Vektoren [mm] \vec{g} [/mm] und [mm] \vec{h} [/mm] linear unabhängig sind.
Wenn ich mir das nun nach dem Muster s * [mm] \vec{g} [/mm] + t [mm] *\vec{h} [/mm] = 0 aufschreibe, komme ich irgendwann zu dem Ergebnis:
s + ct = 0
as = 0
2s + 3t = 0
Hier finde ich allerdings keinen Wert für jegliche der Variablen. a und/oder s können den Wert Null annehmen, aber eindeutig ist das nicht.
Vielleicht habe ich im moment nur ein brett vor'm kopf, aber irgendwie komme ich nicht drauf.
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\vec{g}=\vektor{1 \\ a \\ 2}, \vec{h}=\vektor{c \\ 0 \\ 3}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> habe hier zwei Vektoren g und h, bei denen ich den
> Variablen a und c einen derartigen Wert gebe, dass die
> Vektoren [mm]\vec{g}[/mm] und [mm]\vec{h}[/mm] linear unabhängig sind.
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> Wenn ich mir das nun nach dem Muster s * [mm]\vec{g}[/mm] + t
> [mm]*\vec{h}[/mm] = 0 aufschreibe, komme ich irgendwann zu dem
> Ergebnis:
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> s + ct = 0
> as = 0
> 2s + 3t = 0
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> Hier finde ich allerdings keinen Wert für jegliche der
> Variablen. a und/oder s können den Wert Null annehmen, aber
> eindeutig ist das nicht.
Bei linearer Abhängigkeit muss da überall 0 herauskommen, OBWOHL mindestens eine der Zahlen s und t NICHT Null ist.
Also darf s nicht Null werden, da sonst in Gleichung 3 auch t Null wäre (und umgekehrt).
Bei nur zwei Vektoren ist sowieso alles viel einfacher: Wenn die beiden Vektoren abhängig sind, muss der eine ein reelles Vielfaches des anderen sein.
Damit ist a zwangsläufig Null. Da 3 das 1,5-fache von 2 ist, muss auch c das 1,5-fache von 1 sein.
Viele Grüße
Abakus
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> Vielleicht habe ich im moment nur ein brett vor'm kopf,
> aber irgendwie komme ich nicht drauf.
> Danke für eure Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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