Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 So 10.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Prüfen Sie,ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind?
a) [mm] \vec{a}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}, \vec{b}=\vektor{3 \\ 1 \\ -1}, \vec{c}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
b) [mm] \vec{a}=\vektor{0 \\ 1 \\ 3}, \vec{b}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}, \vec{c}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}, \vec{d}=\vektor{0 \\ 5 \\ 9}. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich hab einige Probleme bei dieser Aufgabe.Hoffe mir kann jemand helfen.
a) Also ich muss ja folgendes Berechnen:
[mm] r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{3 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Dann hab ich folgendes LGS:
2r+3s+t=0
r+s+t=0
-s+t=0
Als Lösung war jetzt angegeben,dass die Vektoren linear abhängig sind,da die Lösung r=2,s=-1,t=-1 exisitiert.
Ich versteh jetzt nicht,wie man diese Lösung rausgefunden hat.Man kann ja bei der dritten Gleichung irgendwas für s oder t wählen.Ich hab z.B. s=2 gewählt und wenn ich das in die anderen Gleichungen einsetze,kommt ein Widerspruch dabei raus.Deswegen hätte ich gesagt,die Vektoren sind linear unabhängig.
Wie kriegt man denn jetzt raus,welche Lösung genau existiert und ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind?
b) Bei der b) bin ich mir nicht sicher,ob die so stimmt:
[mm] r*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}+s*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}+t*\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+u*\vektor{0 \\ 5 \\ 9}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
-s+2t=0
r+s+t+5u=0
3r+s+t+9u=0
Dann hab ich r und t eliminert und hab die zwei Gleichungen:
s=2t
s=-2u
und hab s=1 gewählt und mir damit r,t und u ausgerechnet, r=-4,t=0.5,u=-0.5
Dann hab ich diese Werte in die Gleichungen eingesetzt und das ergab einen Widerspruch -5=0.Das heißt,die Vektoren sind linear unabhängig oder?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 10.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo Mandy,
Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ihr zugehöriges lineares Gleichungssystem sich nur durch null lösen lässt, also müsste bei a) r,t und s=0 die einzige mögliche Lösung sein.
Da dies nicht der Fall ist, sind die Vektoren linear abhängig.
Aus der dritten Zeile erkennst du, dass s=t.
Setzt du das nun in die erste und zweite Zeile ein folgt:
2r + 4s = 0
r + 2s = 0
Es existieren hier somit unendlich viele Lösungen.
Bei b) hast du richtig erkannst, dass s=2t ist, wie du auf s=-2u kommst weiß ich nicht...
der erste Zusammenhang reicht allerdings auch aus, da für die zweite und dritte Zeile folgt (mit s=2t):
r+3t+5u=0
3r+3t+9u=0
Hier ist nun deutlich, dass die beiden Zeilen lin. unabhängig voneinander sind, da es nur lösbar ist, wenn jede Unbekannte Null ist.
Somit sind die Vektoren linear unabhängig.
Gruß Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 10.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank schonmal =)
> Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ihr
> zugehöriges lineares Gleichungssystem sich nur durch null
> lösen lässt, also müsste bei a) r,t und s=0 die einzige
> mögliche Lösung sein.
> Da dies nicht der Fall ist, sind die Vektoren linear
> abhängig.
Bedeutet das jetzt,dass wenn ich einen Widerspruch hab,dass die Vektoren dann immer linear abhängig sind???
lg
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Bei den Untersuchungen der Linearen Abhängigkeit hast du immer ein homogenes LGS zu lösen, d.h. wenn du die Gleichungen nach Einträgen mit Variablen und Zahlen sortierst, hast du auf der "Zahlenseite" der Gleichungen nur Nullen stehen. Ein homogenes LGS hat die Eigenschaft, dass es immer mindestens eine Lösung hat (nämlich wenn alle Variablen gleich 0 sind).
Es gibt also bei dieser Rechnung zwei Möglichkeiten:
1. Du bekommst heraus, dass alle Unbekannten 0 sein müssen. Dein LGS hat dann genau eine Lösung. Schlussfolgerung: Die Vektoren sind linear unabhängig.
2. Du bekommst heraus, dass du eine (oder mehrere) Unbekannte frei wählen kannst, was du daran erkennst, dass in deiner Rechnung irgendwann mal 0=0 als Gleichung herauskommt oder dass zwei Gleichungen identisch sind oder die eine das Vielfache der anderen (ich glaube, das bezeichnest du als "Widerspruch", was es aber eigentlich nicht ist). Dein LGS hat dann nicht nur eine sondern unendlich viele Lösungen. Schlussfolgerung: Die Vektoren sind nicht linear unabhängig, sondern linear abhängig.
Kleine Ergänzung: bei Inhomogenen LGS (wenn also auf der "Zahlenseite" auch Einträge ungleich 0 stehen) gibt es noch einen dritten Fall, dass es nämlich garkeine Lösung gibt. Dann spricht man von einem Widerspruch, denn dann bekommst du bei der Rechnung so etwas wie 0 = 3 heraus, was dann wirklich nicht geht. Aber wie gesagt - bei der Überprüfung der Linearen Abhängigkeit bzw. Kollinearität/Komplanarität kommt dieser Fall nicht vor.
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok vielen Dank =)
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