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| Aufgabe | [mm] u_1,...u_n [/mm] sind linear unabhängige Vektoren des K-Vektorraumes V und [mm] a_1,...,a_n\in \IK. [/mm]
Für : [mm] u:=a_1u_1+...+a_nu_n [/mm]
sind [mm] u_1-u,...,u_n-u [/mm] genau dann linear abhängig, wenn [mm] a_1+...a_n=1 [/mm] gilt. |
Ich sitze jetzt seit Sonntag an der Aufgabe und komme damit nicht klar. Ich muss sie morgen früh abgeben und kriege nichts dazu hin :((
Ich weiß auch nicht wie ich da ran gehen soll. kann mir das vielleicht jemand stück für stück erklären? ich brauche die Aufgabe bis morgen unbedingt :(
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Do 19.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]u_1,...u_n[/mm] sind linear unabhängige Vektoren des
> K-Vektorraumes V und [mm]a_1,...,a_n\in \IK.[/mm]
>
> Für : [mm]u:=a_1u_1+...+a_nu_n[/mm]
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> sind [mm]u_1-u,...,u_n-u[/mm] genau dann linear abhängig, wenn
> [mm]a_1+...a_n=1[/mm] gilt.
> Ich sitze jetzt seit Sonntag an der Aufgabe und komme
> damit nicht klar. Ich muss sie morgen früh abgeben und
> kriege nichts dazu hin :((
>
> Ich weiß auch nicht wie ich da ran gehen soll. kann mir
> das vielleicht jemand stück für stück erklären? ich
> brauche die Aufgabe bis morgen unbedingt :(
Du sollst hier eine "genau dann, wenn" Aussage beweisen:
[mm] u_1-u,...,u_n-u[/mm] linear abhängig [mm] \gdw a_1+...a_n=1[/mm].
Zerlege das in zwei Teile: vorwärts:
[mm] u_1-u,...,u_n-u[/mm] linear abhängig [mm] \implies a_1+...a_n=1[/mm]
und rückwärts:
[mm] a_1+...a_n=1 \implies u_1-u,...,u_n-u[/mm] linear abhängig.
Fangen wir mit der Vorwärtsrichtung an. Was heißt denn, dass [mm] u_1-u,...,u_n-u[/mm] linear abhängig sind?
Wenn du die Gleichung
[mm] 0= \lambda_1 (u_1-u) + \lambda_2(u_2 -u) + \dots + \lambda_n(u_n-u)[/mm]
aufstellst, so gibt es bei linearer Abhängigkeit Lösungen, bei denen nicht alle [mm] $\lambda_i$ [/mm] gleichzeitig 0 sind. Versuchen wir uns also an den Lösungen.
Jetzt setzt du [mm] $u=a_1u_1+...+a_nu_n$ [/mm] ein und sortierst um:
[mm] 0 = (\lambda_1(1-a_1) - a_1\lambda_2-\dots-a_1\lambda_n)u_1 + (-a_2 \lambda_1 + (1-a_2) \lambda_2) -a_2 \lambda_3 - \dots -a_2 \lambda_n)u_2 + \dots + (-a_n \lambda_1 - \dots +(1-a_n) \lambda_n) u_n [/mm].
Nach Voraussetzung sind die [mm] $u_1,\dots,u_n$ [/mm] linear unabhängig; daher folgt
[mm] (\lambda_1(1-a_1) - a_1\lambda_2-\dots-a_1\lambda_n) = 0 [/mm]
[mm] (-a_2 \lambda_1 + (1-a_2) \lambda_2) -a_2 \lambda_3 - \dots -a_2 \lambda_n) = 0 [/mm]
[mm] \vdots[/mm]
[mm] (-a_n \lambda_1 - \dots +(1-a_n) \lambda_n) =0 [/mm]
Tipp: addiere diese n Gleichungen auf!
Die Rückwärtsrichtung des Beweises solltest du selber probieren.
Viele Grüße
Rainer
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