Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 27.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | Wie kann die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
[mm]
\vektor{4 \\ 4 \\ 8} , \vektor{-3 \\ -3 \\ a}, \vektor{a \\ a \\ -12}
[/mm] |
Damit die Vektoren linear abhängig sind muss doch nur einer der Vektoren als Linearkombination eines anderen Vektor darstellbar sein richtig?
Das hieße dann, dass a = - 6 sein muss.
Aber wie schreibe ich den Rechenweg korrekt auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 So 27.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Benütze den Gauss Algorithmus. Schreibe dazu die drei Spaltenvektoren in eine Matrix und wende darauf den Algorithmus an. Hat die Matrix vollen Rang, so sind die Vektoren linear unabhängig. Hat sie keinen Vollen Rang, so sind sie linear Abhängig.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 27.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
Das habe ich jetzt nicht so genau verstanden...
Meinst du das etwa so?:
[mm]
\pmat{ 4 & -3 & a \\ 4 & 3 & a \\ 8 & a & -12 }
[/mm]
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Wenn ich recht habe und du Zeilenumformungen durchführen möchtest, dann wäre das transponierte von der Matrix richtig:
$ [mm] \pmat{ 4 & 4 & 8 \\ -3 & 3 & a \\ a & a & -12 } [/mm] $
Und dann suchst du ein a um Nullzeilen zu kreieren.
[mm] $\to \pmat{ 4 & 4 & 8 \\ 0 & 6 & a+6 \\ 0 & 0 & -12-2a } [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 27.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
Danke für deine Antwort, aber...
Das Verfahren, das du anwendest, ist mir noch gänzlich unbekannt (oder mir ist das nicht bewusst, dass wir das gemacht haben, aber ich tendiere zu Erstes)...
Gibt's es noch einen anderen Weg?
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> $ [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 8} [/mm] , [mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ a}, \vektor{a \\ a \\ -12} [/mm] $
> Danke für deine Antwort, aber...
> Das Verfahren, das du anwendest, ist mir noch gänzlich
> unbekannt (oder mir ist das nicht bewusst, dass wir das
> gemacht haben, aber ich tendiere zu Erstes)...
> Gibt's es noch einen anderen Weg?
Eine simple Art, diese Aufgabe zu lösen und zu notieren, ist wahrscheinlich das LGS
Du weißt, dass die Vektoren dann linear voneinander abhängig sind, wenn sich einer als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.
Sprich: [mm] \vec a = \vec b + r * \vec c [/mm]
Der Einfachheit halber solltest du in deinem Fall den Parameter r nicht für einen Vektor verwenden, der die Variable a enthält...
Da sonst nicht viel übrig bleibt:
[mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ a} = \vektor{a \\ a \\ -12} + r * \vektor{4 \\ 4 \\ 8}[/mm]
daraus kannst du nun ein LGS mit 2 Gleichungen und 2 Variablen bauen.
Gruß, Melvissimo
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