Lineare Abhängigkeit < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Di 12.11.2013 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | | Wann ist die Menge der Vektoren linear unabhängig? Begründe. |
Hallo,
das ganze hängt ja mit der Linearkombination zusammen. Es gilt: Die Menge der Vektoren a1,...,an heißt linear unabhängig, falls sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt; sonst heißt sie linear abhängig.
Nehmen wir an: A*x=b mit der Koeffizientenmatrix A, dem Unbekanntenvektor x mit den Multiplikatoren der Linearkombination sowie den Ergebnisvektor b, dann sind die Spalten von A linear unabhängig, wenn die Gleichung keine Lösung hat, sich also keine Multiplikatoren x ergeben.
Bis dahin ist alles richtig oder?
In meinem Buch steht dann noch:
"Um eine Menge von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu testen, müssen nicht alle Linearkombinationsmöglichkeiten überprüft werden. Die Menge der Vektoren a1,...,an ist, analog zu oben aufgeführter Vektorgleichung, auch dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur auf genau eine Weise als Linearkombination der Vektoren darstellen lässt. Zur Überprüfung, ob die Vektoren a1,...,an linear unabhängig sind, betrachtet man somit A*x=0. Ist das LGS eindeutig lösbar (die Lösung von x ist dann der Nullvektor, es gilt x=0), so sind die Vektoren a1,...,an linear unabhängig. Hat das LGS dagegen unendlich viele Lösungen, so sind die Vektoren a1,...,an linear abhängig."
Ich verstehe leider den Zusammenhang nicht, wieso man zunächst einmal von A*x=0 ausgeht. Zudem verstehe ich nicht, wieso bei einer eindeutigen Lösung eine lineare Unabhängigkeit vorliegt und bei unendlich vielen Lösungen eine lineare Abhängigkeit.
LG
Mathics
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Hallo,
du verwechselst hier Definition und daraus resultierende Schlussfolgerungen/Vorgehensweisen.
Die Definition der linearen Unabhängigkeit ist doch gerade die, dass sie dann vorliegt, wenn das LGS
[mm] a_1*x_1+a_2*x_2+...+a_n*x_n=0
[/mm]
die eindeutige sog. Triviallösung
[mm] a_1=a_2=...=a_n=0
[/mm]
besitzt.
Insofern muss man nicht fragen, warum das so ist. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:12 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Mathics |
Wäre denn falsch, wenn ich sage:
Dass A*x=0 ergibt, kommt dann vor, wenn die Koeffizientenmatrix A aus lauter Nullzeilen besteht. In jeder Koeffizientenmatrix ergeben sich Nullzeilen, wenn man sie mit 0 multiplizierst. Wenn jedoch darüber hinaus, durch EZUS Nullzeilen entstehen können, ist die Menge der Vektoren linear abhängig. ?
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> Wäre denn falsch, wenn ich sage:
>
> Dass A*x=0 ergibt, kommt dann vor, wenn die
> Koeffizientenmatrix A aus lauter Nullzeilen besteht.
Hallo,
ja, natürlich.
Wenn die Koeffizientenmatrix A die Nullmatrix ist, kommt immer der Nullvektor raus, egal mit elchem Vektor x man sie multipliziert.
Das ist nun ja nicht so der Bringer, oder?
> In
> jeder Koeffizientenmatrix ergeben sich Nullzeilen, wenn man
> sie mit 0 multiplizierst. Wenn jedoch darüber hinaus,
> durch EZUS
Was sind EZUS?
Ich glaube, Du bist gerade auf einem völlig schrägen Trip.
Gibt es eine konkrete Aufgabe, die Du gerade bearbeiten sollst?
Generell:
n Vektoren [mm] a_1,...,a_n [/mm] heißen linear abhängig, wenn man einen von ihnen als Linearkombination der anderen schreiben kann.
Es sind z.B.
[mm] a_1:=\vektor{1\\2\\3\\0}, a_2:=\vektor{3\\2\\1\\0}, a_3:=\vektor{5\\6\\7\\0}
[/mm]
linear abhängig, denn es ist [mm] a_3=2a_1+a_2.
[/mm]
Es sind z.B.
[mm] a_1:=\vektor{1\\2\\3\\0}, a_2:=\vektor{3\\2\\1\\0}, a_3:=\vektor{1\\1\\2\\0}
[/mm]
linear unabhängig, denn keinen kann man als Linearkombination der anderen schreiben.
Probiere es aus, versuche also die drei Vektorgleichungen
[mm] a_1=r*a_2+s*a_3,
[/mm]
[mm] a_2=r*a_1+s*a_3,
[/mm]
[mm] a_3=r*a_1+s*a_2
[/mm]
zu lösen.
Man kann die Bedingung der linearen (Un)abhängigkeit auch anders formulieren:
n Vektoren [mm] a_1,...,a_n [/mm] heißen linear abhängig, wenn man den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination der n Vektoren schreiben kann.
n Vektoren [mm] a_1,...,a_n [/mm] heißen linear unabhängig, wenn man den Nullvektor nur als triviale Linearkombination der n Vektoren schreiben kann,
wenn aus [mm] k_1a_1+...+k_na_n=Nullvektor [/mm] also folgt, daß [mm] k_1=...=k_n=0.
[/mm]
Du könntest jetzt anhand dieses Kriteriums mal die (Un)abhängigkeit der oben gegebenen Vektoren prüfen.
Wenn Du Vektoren [mm] a_1,...,a_n [/mm] gegeben hast und über ihre Unabhängigkeit zu entscheiden hast,
ist also zu gucken, ob
[mm] k_1a_1+...+k_na_n=Nullvektor [/mm] nur die triviale Lösung hat (unabhängig) oder ob es weitere Lösungen gibt (abhängig).
Die Gleichung [mm] k_1a_1+...+k_na_n=Nullvektor [/mm] ist äquivalent zu
[mm] A*\vektor{k_1\\\vdots\\k_n}=Nullvektor,
[/mm]
A ist dabei die Matrix, in deren Spalten [mm] a_1,..., a_n [/mm] stehen.
Du kannst nun diese Matrix untersuchen.
Man weiß: Ax=0
-hat genau eine Lösung (und das ist die triviale), wenn der Rang von A gleich der Anzahl der Spalten ist,
-hat unendlich viele Lösungen (also auch nichttriviale), wenn der Rang kleiner als die Anzahl der Spalten ist.
Das gibt einem die Möglichkeit, mit Zeilenumformungen schnell über Unabhängigkeit zu entscheiden.
Auch das kannst Du mal mit den gegebenen Vektoren probieren.
Auf welchem Niveau bewegen wir uns eigentlich gerade? Schule Grundkurs? Hochschule Mathe als Nebenfach?
LG Angela
> Nullzeilen entstehen können, ist die Menge der
> Vektoren linear abhängig. ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
das mit der Linearkombination habe ich verstanden. Also das erste Beispiel ist für mich sehr einleuchtend.
Das was für mich immer noch ein Fragezeichen bildet, ist wieso A*x=0 dasselbe aussagt wie
> [mm]a_1:=\vektor{1\\2\\3\\0}, a_2:=\vektor{3\\2\\1\\0}, a_3:=\{5\\6\\7\\0}[/mm]
>
> linear abhängig, denn es ist [mm]a_3=2a_1+a_2.[/mm]
>
> Es sind z.B.
> [mm]a_1:=\vektor{1\\2\\3\\0}, a_2:=\vektor{3\\2\\1\\0}, a_3:=\{1\\1\\2\\0}[/mm]
>
> linear unabhängig, denn keinen kann man als
> Linearkombination der anderen schreiben.
> Probiere es aus, versuche also die drei Vektorgleichungen
> [mm]a_1=r*a_2+s*a_3,[/mm]
> [mm]a_2=r*a_1+s*a_3,[/mm]
> [mm]a_3=r*a_1+s*a_2[/mm]
> zu lösen.
Ich möchte das quasi rein von der Logik her verstehen, wieso diese Formel angewandt werden kann.
Mathe als Nebenfach im Studium.
LG
Mathics
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
da ich gerade nicht viel Zeit habe:
> Ich möchte das quasi rein von der Logik her verstehen,
> wieso diese Formel angewandt werden kann.
>
> Mathe als Nebenfach im Studium.
Ich empfehle Dir, mal in
Bosch, Lineare Algebra
das entsprechende Kapitel durchzuarbeiten.
Und nur mal nebenbei:
Dass Aussagen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] "das Gleiche bedeuten", besagt sprachlich nichts
anderes, als, dass [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] gleichbedeutend, m.a.W., äquivalent sind:
$A$ [mm] $\iff$ [/mm] $B$
ist dann nachzuweisen. Man sagt dann auch, dass [mm] $A\,$ [/mm] durch [mm] $B\,$ [/mm] charakterisiert
wird (bzw. man kann natürlich auch sagen, dass [mm] $B\,$ [/mm] durch [mm] $A\,$ [/mm] charakterisiert
werde bzw. dass [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] sich charakterisieren oder oder oder...).
Wenn man bei einer Menge [mm] $M\,$ [/mm] sagt, dass man sie charakterisieren soll,
so meint man, dass man eine (andere, meist "einfachere") Eigenschaft
finden soll, die für genau jedes $x [mm] \in [/mm] M$ gilt.
Beispiel:
[mm] $M:=\{x \in \IR:\;\; x^2 \ge 1\}$
[/mm]
Es gilt für $x [mm] \in \IR:$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\iff$ [/mm] ($x [mm] \;\;\le\;\; [/mm] -1$ oder $x [mm] \;\;\ge\;\; [/mm] 1$),
(das hier ist im Prinzip nichts anderes als die Aussage, dass
$M [mm] \subseteq ((-\infty,-1] \cup [1,\infty))$ [/mm] (wegen [mm] $\Longrightarrow$) [/mm] und $M [mm] \supseteq ((-\infty,-1] \cup [1,\infty))$ [/mm] (wegen [mm] $\Longleftarrow$) [/mm] )
daher auch
[mm] $M=\{x \in \IR:\;\; x \le -1 \vee x \ge 1\}$ ($=(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$)
[/mm]
Hier gilt übrigens für $x [mm] \in \IR:$
[/mm]
Die Aussagen
[mm] $x^2\;\;\ge\;\;1$
[/mm]
und
$x [mm] \le [/mm] -1$ oder $x [mm] \;\;\ge\;\; [/mm] 1$
charakterisieren sich.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> das mit der Linearkombination habe ich verstanden. Also das
> erste Beispiel ist für mich sehr einleuchtend.
>
> Das was für mich immer noch ein Fragezeichen bildet, ist
> wieso A*x=0 dasselbe aussagt wie
>
> > [mm]a_1:=\vektor{1\\2\\3\\0}, a_2:=\vektor{3\\2\\1\\0}, a_3:=\vektor{5\\6\\7\\0}[/mm]
>
> >
> > linear abhängig, denn es ist [mm]a_3=2a_1+a_2.[/mm]
Hallo,
A*x=0 sagt gar nichts aus.
Es ist eine zu lösende Gleichung bzw. ein zu lösendes lineares Gleichungssystem.
Eine Aussage erhält man erst aus der Lösung des Gleichungssystems.
Wenn aus Ax=0 folgt, daß die einzige Lösung die Lösung x=0 ist, sind die Spalten der Matrix linear unabhängig,
enthält die Lösungsmenge von Ax=0 mehr als einen Vektor, so sind die Vektoren in den Spalten von A linear abhängig.
Hast Du denn all das, was ich Dir gesagt habe, mal durchgerechnet?
> >
> > Es sind z.B.
> > [mm]a_1:=\vektor{1\\2\\3\\0}, a_2:=\vektor{3\\2\\1\\0}, a_3:=\vektor{1\\1\\2\\0}[/mm]
>
> >
> > linear unabhängig, denn keinen kann man als
> > Linearkombination der anderen schreiben.
> > Probiere es aus, versuche also die drei
> Vektorgleichungen
> > [mm]a_1=r*a_2+s*a_3,[/mm]
> > [mm]a_2=r*a_1+s*a_3,[/mm]
> > [mm]a_3=r*a_1+s*a_2[/mm]
> > zu lösen.
>
> Ich möchte das quasi rein von der Logik her verstehen,
> wieso diese Formel angewandt werden kann.
Welche Formel denn jetzt?
Versuche bitte, Dich etwas genauer auszudrücken, auch wenn Du dann etwas mehr schreiben mußt.
Schauen wir nochmal
[mm]a_1:=\vektor{1\\2\\3\\0}, a_2:=\vektor{3\\2\\1\\0}, a_3:=\vektor{5\\6\\7\\0}[/mm]
an.
Die Vektoren sind linear abhängig, denn es ist
[mm]a_3=2a_1+a_2.[/mm]
<==> [mm] 2a_1+a_2-a_3=0
[/mm]
<==> [mm] \pmat{1&3&5\\2&2&6\\3&1&7\\0&0&0}*\vektor{2\\1\\-1}=\vektor{0\\0\\0\\0}
[/mm]
Die Lösungsmenge von [mm] \pmat{1&3&5\\2&2&6\\3&1&7\\0&0&0}*x=0 [/mm] enthält also ein vom Nullvektor verschiedenes Element, u.a. das Element [mm] \vektor{2\\1\\-1}.
[/mm]
Bei dem anderen Vektorsortiment kann man keinen Vektor als Linearkombination der anderen schreiben, daher hat [mm] 0=x_1*a_1+x_2a_2+x_3a_3 [/mm] nur die Lösung [mm] x_1=x_2=x_3=0.
[/mm]
Interessieren würde vielleicht auch noch der vollständige Aufgabentext, falls es um eine Aufgabe geht.
| Aufgabe | | Wann ist die Menge der Vektoren linear unabhängig? Begründe. |
dürfte ja nur ein Fragment sein.
LG Angela
>
>
> Mathe als Nebenfach im Studium.
>
>
> LG
> Mathics
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Man kann die Bedingung der linearen (Un)abhängigkeit auch
> anders formulieren:
>
> n Vektoren [mm]a_1,...,a_n[/mm] heißen linear abhängig, wenn man
> den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination der n
> Vektoren schreiben kann.
>
> n Vektoren [mm]a_1,...,a_n[/mm] heißen linear unabhängig, wenn man
> den Nullvektor nur als triviale Linearkombination der n
> Vektoren schreiben kann,
> wenn aus [mm]k_1a_1+...+k_na_n=Nullvektor[/mm] also folgt, daß
> [mm]k_1=...=k_n=0.[/mm]
ich würde sagen: Hier ist unter anderem bei der Aufgabe gefordert, dass
sowas nicht einfach hingenommen wird (sofern es nicht schon in der
Vorlesung behandelt worden ist), sondern dass sowas auch bewiesen
wird. ("'Andere Definition' muss (unter den entsprechenden
Voraussetzungen) äquivalent zur 'gegebenen Definition' sein!")
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 09:25 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> du verwechselst hier Definition und daraus resultierende
> Schlussfolgerungen/Vorgehensweisen.
>
> Die Definition der linearen Unabhängigkeit ist doch gerade
> die, dass sie dann vorliegt, wenn das LGS
>
> [mm]a_1*x_1+a_2*x_2+...+a_n*x_n=0[/mm]
>
> die eindeutige sog. Triviallösung
>
> [mm]a_1=a_2=...=a_n=0[/mm]
>
> besitzt.
nein, hier wurde definiert:
> Die Menge der Vektoren a1,...,an heißt linear unabhängig, falls sich
> keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren
> darstellen lässt; sonst heißt sie linear abhängig.
Das heißt, hier sagt man zuerst:
[mm] $\{a_1,...,a_n\}$
[/mm]
heißt (genau dann) linear unabhängig, wenn gilt:
Es gibt kein $k [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] derart, dass es Skalare [mm] $\lambda_\ell$ ($\ell \in \{1,...,n\} \setminus \{k\}$) [/mm] gibt mit
[mm] $a_k=\sum_{\substack{\ell=1\\\ell \not=k}}^n \lambda_\ell a_\ell\,.$
[/mm]
Z.B. wäre hier per Definitionem für die Vektoren [mm] $a_1,...,a_4$ [/mm] zu prüfen:
1.) Gibt es Skalare [mm] $\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$ [/mm] mit
[mm] $a_1=\lambda_2a_2+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4$?
[/mm]
2.) Gibt es Skalare [mm] $\lambda_1,\lambda_3,\lambda_4$ [/mm] mit
[mm] $a_2=\lambda_1a_1+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4$?
[/mm]
3.) Gibt es Skalare [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_4$ [/mm] mit
[mm] $a_3=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_4a_4$?
[/mm]
4.) Gibt es Skalare [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ [/mm] mit
[mm] $a_4=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3$?
[/mm]
(Strenggenommen könnte man auch in jedem Fall die Skalare umbenennen,
damit niemand auf die Idee kommt, dass etwa das [mm] $\lambda_2$ [/mm] aus 1.) das gleiche wie
aus 4.) sein muss...)
Erst, wenn alle diese 4 Fragen verneint werden können, wäre hier, per
Definitionem, zu folgern, dass [mm] $\{a_1,...a_4\}$ [/mm] linear unabhängig ist!
(Und dass diese Definition zu dem von Dir gesagten äquivalent ist,
bestreite ich nicht - aber das ist nicht trivial und bedarf eines Beweises!)
P.S. Insbesondere sieht man hier:
Die gegebene Definition ist nicht besonders schön - wenn man mit ihr
rein per Definitionem arbeitet, hat man für [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren dann [mm] $n\,$ [/mm] Gleichungssysteme
in (jeweils) [mm] $n-1\,$ [/mm] Variablen zu testen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 09:31 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> nein, hier wurde definiert:
> > Die Menge der Vektoren a1,...,an heißt linear
> unabhängig, falls sich
> > keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen
> Vektoren
> > darstellen lässt; sonst heißt sie linear abhängig.
>
> Das heißt, hier sagt man zuerst:
> [mm]\{a_1,...,a_n\}[/mm]
>
> heißt (genau dann) linear unabhängig, wenn gilt:
> Es gibt kein [mm]k \in \{1,...,n\}[/mm] derart, dass es Skalare
> [mm]\lambda_\ell[/mm] ([mm]\ell \in \{1,...,n\} \setminus \{k\}[/mm]) gibt
> mit
>
> [mm]a_k=\sum_{\substack{\ell=1\\\ell \not=k}}^n \lambda_\ell a_\ell\,.[/mm]
>
> Z.B. wäre hier per Definitionem für die Vektoren
> [mm]a_1,...,a_4[/mm] zu prüfen:
> 1.) Gibt es Skalare [mm]\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4[/mm] mit
>
> [mm]a_1=\lambda_2a_2+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4[/mm]?
>
> 2.) Gibt es Skalare [mm]\lambda_1,\lambda_3,\lambda_4[/mm] mit
>
> [mm]a_2=\lambda_1a_1+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4[/mm]?
>
> 3.) Gibt es Skalare [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_4[/mm] mit
>
> [mm]a_3=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_4a_4[/mm]?
>
> 4.) Gibt es Skalare [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3[/mm] mit
>
> [mm]a_4=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3[/mm]?
> (Strenggenommen könnte man auch in jedem Fall die Skalare
> umbenennen,
> damit niemand auf die Idee kommt, dass etwa das [mm]\lambda_2[/mm]
> aus 1.) das gleiche wie
> aus 4.) sein muss...)
>
> Erst, wenn alle diese 4 Fragen verneint werden können,
> wäre hier, per
> Definitionem, zu folgern, dass [mm]\{a_1,...a_4\}[/mm] linear
> unabhängig ist!
>
> (Und dass diese Definition zu dem von Dir gesagten
> äquivalent ist,
> bestreite ich nicht - aber das ist nicht trivial und bedarf
> eines Beweises!)
ok, ich wusste nicht, dass das auch so herum aufgezogen wird.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 09:36 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel,
>
> > nein, hier wurde definiert:
> > > Die Menge der Vektoren a1,...,an heißt linear
> > unabhängig, falls sich
> > > keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen
> > Vektoren
> > > darstellen lässt; sonst heißt sie linear abhängig.
> >
> > Das heißt, hier sagt man zuerst:
> > [mm]\{a_1,...,a_n\}[/mm]
> >
> > heißt (genau dann) linear unabhängig, wenn gilt:
> > Es gibt kein [mm]k \in \{1,...,n\}[/mm] derart, dass es Skalare
> > [mm]\lambda_\ell[/mm] ([mm]\ell \in \{1,...,n\} \setminus \{k\}[/mm])
> gibt
> > mit
> >
> > [mm]a_k=\sum_{\substack{\ell=1\\\ell \not=k}}^n \lambda_\ell a_\ell\,.[/mm]
>
> >
> > Z.B. wäre hier per Definitionem für die Vektoren
> > [mm]a_1,...,a_4[/mm] zu prüfen:
> > 1.) Gibt es Skalare [mm]\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4[/mm] mit
> >
> > [mm]a_1=\lambda_2a_2+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4[/mm]?
> >
> > 2.) Gibt es Skalare [mm]\lambda_1,\lambda_3,\lambda_4[/mm] mit
> >
> > [mm]a_2=\lambda_1a_1+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4[/mm]?
> >
> > 3.) Gibt es Skalare [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_4[/mm] mit
> >
> > [mm]a_3=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_4a_4[/mm]?
> >
> > 4.) Gibt es Skalare [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3[/mm] mit
> >
> > [mm]a_4=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3[/mm]?
> > (Strenggenommen könnte man auch in jedem Fall die
> Skalare
> > umbenennen,
> > damit niemand auf die Idee kommt, dass etwa das
> [mm]\lambda_2[/mm]
> > aus 1.) das gleiche wie
> > aus 4.) sein muss...)
> >
> > Erst, wenn alle diese 4 Fragen verneint werden können,
> > wäre hier, per
> > Definitionem, zu folgern, dass [mm]\{a_1,...a_4\}[/mm] linear
> > unabhängig ist!
> >
> > (Und dass diese Definition zu dem von Dir gesagten
> > äquivalent ist,
> > bestreite ich nicht - aber das ist nicht trivial und
> bedarf
> > eines Beweises!)
>
> ok, ich wusste nicht, dass das auch so herum aufgezogen
> wird.
das ist auch alles andere als elegant. Aber ich gehe davon aus, weil
geschrieben wurde:
> Es gilt: Die Menge der Vektoren a1,...,an heißt linear unabhängig, falls
> sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren
> darstellen lässt; sonst heißt sie linear abhängig.
Sobald anstatt des roten "heißt" ein "ist" steht, muss man nachfragen,
welche Definition denn eigentlich gegeben wurde.
Gruß,
Marcel
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