Lineare Abhängigkeit Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 Do 15.09.2016 | | Autor: | Jura86 |
Guten Tag !
Ich habe hier eine Aufgabe gelöst, und würde gerne jemanden bitte kurz zu schauen ob ich das richtig gemacht habe.
Aufgabenstellung :
Bestimmen Sie, ob folgende vier Vektoren [mm] {\vec{v_1},..,\vec{v_2}} [/mm] im [mm] \IR^4
[/mm]
linear unabhängig
sind.
Welche Dimension hat U = span [mm] {\vec{v_1},..,\vec{v_2}} [/mm] ?
[mm] \vec{a_1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 3\\ 4\\ \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec{a_2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\ 3 \\ 5\\ 6\\ \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec{a_3} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}11\\ 7 \\ 5\\ 3\\ \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec{a_4} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}13\\ 11 \\ 7\\ 3\\ \end{pmatrix} [/mm]
Meine Umgeformte Matrix sieht so aus
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 11 & 13 &|0 \\ 0 & 1 & -15 & 15 &|0\\ 0 & 0 & 1 & -31 &|0\\ 0 & 0 & 4 & -94&|0 \end{pmatrix} [/mm]
Danach habe ich X1, X2, X3, X4, X5 berechnet
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{4} [/mm] = 0
Und als Antwort würde ich sagen
Dass alle x= 0 d.h dass die Vektoren linear unabhängig sind
Die Demension der Matrix ist 4
Ist das soweit okay oder ist es völlig falsch ?
Wenn es falsch ist, wie ist denn der richtige Rechenweg ?
Bin ich überhaupt fertig mit der Aufgabe ?
Vielen Dank in Vorraus!!
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Hiho,
vorweg: Versuche doch bitte etwas sauberer aufzuschreiben. Um dir das mal zu verdeutlichen:
> Bestimmen Sie, ob folgende vier Vektoren [mm]{\vec{v_1},..,\vec{v_2}}[/mm] im [mm]\IR^4[/mm]
Die Rede ist von vier Vektoren und du schreibst [mm] $v_1$ [/mm] bis [mm] $v_2$
[/mm]
> Welche Dimension hat U = span [mm]{\vec{v_1},..,\vec{v_2}}[/mm] ?
Hier auch: Die Dimension von $U [mm] =\text{span}\{\vec{v_1},\ldots,\vec{v_2}\}$ [/mm] ist eine andere als von $U [mm] =\text{span}\{\vec{v_1},\ldots,\vec{v_4}\}$
[/mm]
> [mm]\vec{a_1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 3\\ 4\\ \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\vec{a_2}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}1\\ 3 \\ 5\\ 6\\ \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\vec{a_3}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}11\\ 7 \\ 5\\ 3\\ \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\vec{a_4}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}13\\ 11 \\ 7\\ 3\\ \end{pmatrix}[/mm]
Hier heißen die Vektoren jetzt plötzlich a statt v…
Das machst du nächste Mal hoffentlich sorgfältiger.
> Meine Umgeformte Matrix sieht so aus
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 11 & 13 &|0 \\ 0 & 1 & -15 & 15 &|0\\ 0 & 0 & 1 & -31 &|0\\ 0 & 0 & 4 & -94&|0 \end{pmatrix}[/mm]
Dazu gleich mehrere Hinweise:
Du schreibst nicht im geringsten, was du machst/machen willst/eigentlich vor hast.
Ich orakel jetzt mal: Du möchtest die lineare Unabhängigkeit prüfen indem du die Vektoren als Spalten einer Matrix schreibst und überprüfst, ob diese vollen Rang hat…Wieso hat deine Matrix dann eine Nullspalte?
Verwechselst du das hier möglicherweise mit linearen Gleichungssystemen?
Die Nullspalte ist also völlig unnötig.
Dann: Ohne zu wissen, mit welchen Schritten du umformen wolltest, kann man dir nicht sagen, wo du was falsch gemacht hast. Aber bereits deine zweite Zeile ist schon falsch.
Ich vermute mal, du wolltest die erste Zeile mit 2 multiplizieren und dann die zweite Zeile abziehen. Dann würde man aber [mm] $(0\quad [/mm] -1 [mm] \quad [/mm] 15 [mm] \quad [/mm] 15)$ erhalten.
Multpliziert man die erste Zeile mit -2 und addiert die zweite, erhielte man $(0 [mm] \quad [/mm] 1 [mm] \quad [/mm] -15 [mm] \quad [/mm] -15)$, aber eben nie deine Zeile.
Daher: Schreibe das nochmal sauber auf und erkläre in jedem Schritt, was du machen willst, und was du raus hast.
> Danach habe ich X1, X2, X3, X4, X5 berechnet
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = 0
> [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{4}[/mm] = 0
Wo kommen denn nun plötzlich die [mm] $x_i$ [/mm] her? Wieder mit linearen Gleichungssystemen verwechselt?
> d.h dass die Vektoren linear unabhängig sind
Ja das sind sie.
> Die Demension der Matrix ist 4
Die Dimension ist tatsächlich 4 und damit ist die Dimension des Spans?
> Ist das soweit okay oder ist es völlig falsch ?
Es ist nicht okay, aber auch nicht völlig falsch.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 So 18.09.2016 | | Autor: | Jura86 |
Ja du hast recht. War etwas zu knapp mit Informationen.
Also jetzt ausführlich:
Das sind die Vektoren die uns vorgegeben wurden.
[mm] \vec{v_1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 3\\ 4\\ \end{pmatrix}, \vec{v_2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\ 3 \\ 5\\ 7\\ \end{pmatrix}, \vec{v_3} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}11\\ 7 \\ 5\\ 3\\ \end{pmatrix}\vec{a_4} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}13\\ 11 \\ 7\\ 3\\ \end{pmatrix}.
[/mm]
Aus einem You Tube Video habe ich erfahren, dass man folgende Bedingung beachten muss wenn man Vektoren auf liniarität überprüfen will.
[mm] x_{1} \cdot v_{1} [/mm] + [mm] x_{2} \cdot v_{2} [/mm] + [mm] x_{3} \cdot v_{3} [/mm] + [mm] x_{4}\cdot v_{4} [/mm] = 0
Daraus ergibt sich für mich :
[mm] \vec{x_1} \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 3\\ 4\\ \end{pmatrix}+ \vec{x_2} \begin{pmatrix}1\\ 3 \\ 5\\ 7\\ \end{pmatrix}+ \vec{x_3} \begin{pmatrix}11\\ 7 \\ 5\\ 3\\ \end{pmatrix} +\vec{x_4} \begin{pmatrix}13\\ 11 \\ 7\\ 3\\ \end{pmatrix} [/mm] = 0
Dann hatte ich das in ein GLS umgewandelt
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 11 & 13 &|0 \\ 2 & 3 & 7 & 11 &|0\\ 3 & 5 & 5 & 7 &|0\\ 4 & 7 & 3& 3&|0 \end{pmatrix} [/mm]
Weiterhin habe ich versucht die Zeilenstufenform zu bilden
II=II - [mm] (2\cdot [/mm] I),
III=III - [mm] (3\cdot [/mm] I),
IV = IV - [mm] (4\cdot [/mm] I),
IV = IV - [mm] (4\cdot [/mm] I)
IV = > 4 7 3 3 0
-
[mm] (4\cdot [/mm] I) = > 4 4 44 52 0
IV = 0 3 -41 -49 0
III = III - [mm] (3\cdot [/mm] I)
III = > 3 5 5 7 0
-
[mm] (3\cdot [/mm] I) = > 3 3 33 39 0
III = 0 2 -28 -32 0
II = II - [mm] (2\cdot [/mm] I)
II = > 2 3 7 11 0
-
[mm] (2\cdot [/mm] I) = > 2 2 22 26 0
II = 0 1 -15 15 0
Dann daraus das neue GLS :
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 11 & 13 &|0 \\ 0 & 1 & -15 & 15 &|0\\ 0 & 1 & -14 & -16 &|0\\ 0 & 3 &-41& -49&|0 \end{pmatrix}
[/mm]
Weiterhin :
III=III - II
IV = IV - [mm] (3\cdot [/mm] II)
III = III - II
III = > 0 1 -14 -16 0
-
II = > 0 1 -15 15 0
III = 0 0 1 -31 0
IV = IV - [mm] (3\cdot [/mm] II)
IV = > 0 3 -41 -49 0
-
[mm] (3\cdot [/mm] II) = > 0 3 -45 45 0
IV = 0 0 4 -94 0
Daraus das GLS :
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 11 & 13 &|0 \\ 0 & 1 & -15 & 15 &|0\\ 0 & 0 & 1 & -31 &|0\\ 0 & 0 & 4 & -94 &|0 \end{pmatrix} [/mm]
Weiterhin :
IV = IV - [mm] (4\cdot [/mm] III)
IV = IV - [mm] (4\cdot [/mm] III)
IV = > 0 0 4 -94 0
-
[mm] (4\cdot [/mm] III) = > 0 0 4 -124 0
IV = 0 0 0 30 0
Und zum Schluss hatteich dieses GLS
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 11 & 13 &|0 \\ 0 & 1 & -15 & 15 &|0\\ 0 & 0 & 1 & -31 &|0\\ 0 & 0 & 0 & 30 &|0 \end{pmatrix} [/mm]
Wenn ich dann nach x ausflöse habe ich folgendes raus :
[mm] 30x_{4} [/mm] = 0
[mm] x_{4} [/mm] = 0
[mm] x_{3} -31x_{4} [/mm] = 0
[mm] x_{3}= [/mm] 0
[mm] x_{2} [/mm] - 15 [mm] x_{3} [/mm] + 15 [mm] x_{4} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] ax_{1} [/mm] + [mm] bx_{2}+ cx_{3}- dx_{4} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] = 0
Ja und weil alle x Null sind , sind die Vektoren linear abhängig. So wie ich das gelernt habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Mo 19.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Prinzip hast du recht, aber obwohl du darauf hingewiesen wurdest ist zumindest deine 2 te Zeile so falsch wie vorher. warum liest du Hilfen nicht genau?
daraufhin hab ich den Rest nicht nachgerechnet, nach [mm] x_i [/mm] auflösen muss man nicht mehr, wenn in keiner Zeile nur 0 vorkommt sind die V. lin unabhängig.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mi 21.09.2016 | | Autor: | Jura86 |
Alles klar vielen Dank !
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