Lineare Abhängigkeit Vektorrau < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu prüfen ist, ob die Elemente des Vektorraums linear abhängig oder únabhängig sind.
V= [mm] \IR [/mm] ^{2} [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1} v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] |
Mein Ansatz war jetzt folgender:
(I) [mm] \lambda [/mm] + 3 [mm] \mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] = 0
(II) 2 [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] + - [mm] \nu [/mm] = 0
Die zwei Gleichungen habe ich addiert und da kam dann folgendes raus:
3 [mm] \lambda [/mm] + 4 [mm] \mu [/mm] = 0
Daran sieht man, dass man beispielsweise für die Gleichung einsetzen kann:
[mm] \lambda [/mm] = -4
[mm] \mu [/mm] = 3
Wenn ich das in einer der Gleichungen einsetze bekomm ich für [mm] \nu [/mm] = -5 raus.
Diese Werte erfüllen die Gleichungen.
Damit ist das ganze linear unabhängig... Stimmts?
Oder geht das noch besser?
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Hallo sethonator,
> Zu prüfen ist, ob die Elemente des Vektorraums linear
> abhängig oder únabhängig sind.
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> V= [mm]\IR[/mm] ^{2} [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2} v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 1} v_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
> Mein Ansatz war jetzt folgender:
> (I) [mm]\lambda[/mm] + 3 [mm]\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] = 0
> (II) 2 [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] + - [mm]\nu[/mm] = 0
>
> Die zwei Gleichungen habe ich addiert und da kam dann
> folgendes raus:
>
> 3 [mm]\lambda[/mm] + 4 [mm]\mu[/mm] = 0
>
> Daran sieht man, dass man beispielsweise für die Gleichung
> einsetzen kann:
>
> [mm]\lambda[/mm] = -4
> [mm]\mu[/mm] = 3
>
> Wenn ich das in einer der Gleichungen einsetze bekomm ich
> für [mm]\nu[/mm] = -5 raus.
>
> Diese Werte erfüllen die Gleichungen.
>
> Damit ist das ganze linear unabhängig... Stimmts?
Nein.
> Oder geht das noch besser?
>
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo,
hieß das jetzt, dass alles soweit richtig ist?
Oder bezog sich das Nein auf meine Frage, ob alles richtig ist?
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Hallo sethonator,
> Hallo,
> hieß das jetzt, dass alles soweit richtig ist?
>
> Oder bezog sich das Nein auf meine Frage, ob alles richtig
> ist?
Das "Nein" heißt, daß die 3 Vektoren nicht linear unabhängig sind.
Gruß
MathePower
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Achso,
liegt das etwa daran, dass es nur eine lineare Unabhängigkeit gibt, sofern es nur eine Lösung gibt?
Bei meiner Aufgabe gibt es ja mindestens zwei Lösungen. Daher ist sie linear abhängig.
Ist das so richtig?
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Hallo sethonator,
> Achso,
> liegt das etwa daran, dass es nur eine lineare
> Unabhängigkeit gibt, sofern es nur eine Lösung gibt?
Die gegebenen Vektoren sind linear unabhängig, wenn es nur die triviale Lösung [mm]\lambda=\mu=\nu=0[/mm] gibt, sonst sind sie linear abhängig.
>
> Bei meiner Aufgabe gibt es ja mindestens zwei Lösungen.
> Daher ist sie linear abhängig.
>
> Ist das so richtig?
In Anlehnung an die lineare Unabhängigkeit, sind die Vektoren linear abhängig, wenn mindestens einer der Koeffizienten in der Linearkombination von Null verschieden ist.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Do 13.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Ah, jetzt hab ichs verstanden!
Danke schön!
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