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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mi 16.04.2008 | | Autor: | DaReava |
| Aufgabe | Für $ [mm] t\in \IR [/mm] $ ist $ [mm] f(t)\in C(\IR) [/mm] $ (Menge der konstanten Funktionen) definiert durch $ [mm] (f(t))(x):=e^{tx} [/mm] $.
Zu zeigen ist, dass die Menge von Funktionen [mm] \{f(t)|t \in \IR\} \subset C(\IR) [/mm] linear unabhängig ist. |
Hallo!
Ich habe irgendwie ein Problem damit, eine solide Lösung für obige Aufgabe zu finden.
Der Sachverhalt an sich ist logisch:
-> Für beliebige Linearkombinationen der Form [mm] c*e^{ax}+d*e^{bx}+... [/mm] ist das Ergebniss nie ein nicht zuvor benutztes Element der Menge.
mit anderen Worten:
-> $ 0 [mm] \not\in \{f(t)|t \in \IR\} [/mm] $
Es gibt für beliebige Linearkombinationen also nur die triviale Nullsumme.
Allerdings weiß ich nicht ob das für einen Beweis ausreicht, bzw wie ich das mathematisch korrekt formulieren könnte. ( [mm] \summe_{i\in I}^{}a_i*e^{tx} [/mm] <-- das wäre so ja wohl nicht richtig...)
wäre nett, wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte.
Reava
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Der Sachverhalt an sich ist logisch:
> -> Für beliebige Linearkombinationen der Form
> [mm]c*e^{ax}+d*e^{bx}+...[/mm] ist das Ergebniss nie ein nicht zuvor
> benutztes Element der Menge.
Das stimmt nicht - ist aber nicht wichtig.
> mit anderen Worten:
> -> [mm]0 \not\in \{f(t)|t \in \IR\}[/mm]
Das stimmt, ist aber eben für "sind diese linear unabhängig?" nicht relevant.
> Es gibt für beliebige
> Linearkombinationen also nur die triviale Nullsumme.
Wir hatten wir so etwas ähnliches: wenn du also eine endliche Linearkombination hast die 0 ist, dann teile durch einen Faktor mit [m]t_i\ne 0[/m] und leite ab - dann erhälst du eine Linearkombination von weniger Elementen und löst dies per Induktion (Induktion über die Anzahl der Summanden).
SEcki
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