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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Lineare Algebra
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Lineare Algebra: Gruppen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Mi 05.10.2016
Autor: mariella22

Aufgabe
Sei G = Qr{−1}. Für a,b ∈ G definieren wir m(a,b) = a·b + a + b = (a + 1)·(b + 1)−1, hier bezeichnet + bzw. · die übliche Addition bzw. Multiplikation auf Q.
(a) Zeigen Sie, dass m(a,b) ∈ G für alle a,b ∈ G.


(b) Beweisen Sie, dass (G,0,m) eine abelsche Gruppe ist. (Hinweis: das Inverse von a ist durch −a/(1 + a) gegeben.)


Hallo!

Ich komm leider nicht so ganz weiter und ich bin auch nicht sicher, ob ich die Fragestellung bei a) richtig verstanden habe.

Bei a) dachte ich, dass ich beweisen müsse, dass m(a,b) ebenfalls nicht -1 annehmen kann. Deshalb dachte ich, es wäre zu zeigen, dass

p/x * q/y + p/x + q/y ungleich -1

p/x = a, q/y = b

Leider kann ich es nicht so umformen, dass ich damit irgendetwas beweisen könnte.

Bei b) ist mein Ansatz:

(A) zu Zeigen: m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))

m(m(a,b),c) = abc +ac + bc + ab +a +b +c
m(a,m(b,c) = abc + ab + ac + a + bc + b + c

(N) Zu zeigen: ae=a , be=b

a * e + a + e = a
a * 0 + a + 0 = a

genauso für be=b

(I) Zu zeigen: a(-a)=e=0

Und hier scheitere ich mit der Inverse die von a gegeben wurde, da ich nicht auf = 0 damit komme.

z.Z.: abelsch:

m(a,b) = m(b,a)

Hier weiss ich nicht, wie ich den Beweis anfangen soll, mir hilft leider der Tipp mit der Inversen für a auch nicht weiter. :(

Ich wär sehr froh über Tipps! Danke!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


        
Bezug
Lineare Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Mi 05.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Was ist [mm] $Qr\{-1\}$ [/mm] für eine Menge?

Bezug
                
Bezug
Lineare Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Mi 05.10.2016
Autor: mariella22

Rationale Zahlen ohne -1
sorry, irgendwie ist da ein r reingerutscht

Bezug
        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Mi 05.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

erstmal: nutze doch bitte den Formeleditor. Das macht das Lesen um einiges eindeutiger!


> Bei a) dachte ich, dass ich beweisen müsse, dass m(a,b) ebenfalls nicht -1 annehmen kann.

Und du solltest begründen, warum $m(a,b) [mm] \in \IQ$ [/mm] gilt.
Um zu zeigen, dass $m(a,b) [mm] \not= [/mm] -1$ nimm mal an, dass $m(a,b) = -1$ gilt,
d.h. es müsste gelten: $(a+1)(b+1) - 1 = -1$
bzw $(a+1)(b+1) = 0$
Überlege nun, wann ein Produkt 0 ist und welche Bedingungen sich daraus an a und b ergeben.

> Bei b) ist mein Ansatz:
>
> (A) zu Zeigen: m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))
>  
> m(m(a,b),c) = abc +ac + bc + ab +a +b +c
>  m(a,m(b,c) = abc + ab + ac + a + bc + b + c
>  
> (N) Zu zeigen: ae=a , be=b
>  
> a * e + a + e = a
>  a * 0 + a + 0 = a
>  
> genauso für be=b

[ok]

> (I) Zu zeigen: a(-a)=e=0
>  
> Und hier scheitere ich mit der Inverse die von a gegeben
> wurde, da ich nicht auf = 0 damit komme.

Dann rechne doch mal vor!
Tipp: Auch hier bietet sich die zweite Darstellung an. Und dann ist es normale Bruchrechnung 5. Klasse…

>
> z.Z.: abelsch:
>  
> m(a,b) = m(b,a)

Schreib doch mal die linke Seite aus, dann schreibe die rechte Seite aus und dann überlege, warum beide Seiten gleich sind.

Gruß,
Gono

Bezug
                
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Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Mi 05.10.2016
Autor: mariella22

Hallo!
Danke schön!!!

Also 1. ist mir jetzt klar.. wenn (a+1) oder (b+1) gleich null sein, ist entweder a oder b = -1 und das ist ja ausgeschlossen.

Zu zweitens, hat sich erledigt :)

Und zum abelsch:

m(a,b)=(a+1)(b+1)-1
m(b,a)=(b+1)(a+1)-1

Reicht es das so hinzuschreiben?


Bezug
                        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:42 Do 06.10.2016
Autor: fred97


> Hallo!
>  Danke schön!!!
>  
> Also 1. ist mir jetzt klar.. wenn (a+1) oder (b+1) gleich
> null sein, ist entweder a oder b = -1 und das ist ja
> ausgeschlossen.
>  
> Zu zweitens, hat sich erledigt :)
>  
> Und zum abelsch:
>
> m(a,b)=(a+1)(b+1)-1
>  m(b,a)=(b+1)(a+1)-1
>  
> Reicht es das so hinzuschreiben?

Na ja, warum so schreibfaul ? Ich würde noch sowas spendieren:

   " nun sieht man, dass m(a,b)=mb,a) ist."

>  


Bezug
                                
Bezug
Lineare Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Do 06.10.2016
Autor: mariella22

Vielen Dank für die Hilfe!

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