Lineare Algebra < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei G = Qr{−1}. Für a,b ∈ G definieren wir m(a,b) = a·b + a + b = (a + 1)·(b + 1)−1, hier bezeichnet + bzw. · die übliche Addition bzw. Multiplikation auf Q.
(a) Zeigen Sie, dass m(a,b) ∈ G für alle a,b ∈ G.
(b) Beweisen Sie, dass (G,0,m) eine abelsche Gruppe ist. (Hinweis: das Inverse von a ist durch −a/(1 + a) gegeben.) |
Hallo!
Ich komm leider nicht so ganz weiter und ich bin auch nicht sicher, ob ich die Fragestellung bei a) richtig verstanden habe.
Bei a) dachte ich, dass ich beweisen müsse, dass m(a,b) ebenfalls nicht -1 annehmen kann. Deshalb dachte ich, es wäre zu zeigen, dass
p/x * q/y + p/x + q/y ungleich -1
p/x = a, q/y = b
Leider kann ich es nicht so umformen, dass ich damit irgendetwas beweisen könnte.
Bei b) ist mein Ansatz:
(A) zu Zeigen: m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))
m(m(a,b),c) = abc +ac + bc + ab +a +b +c
m(a,m(b,c) = abc + ab + ac + a + bc + b + c
(N) Zu zeigen: ae=a , be=b
a * e + a + e = a
a * 0 + a + 0 = a
genauso für be=b
(I) Zu zeigen: a(-a)=e=0
Und hier scheitere ich mit der Inverse die von a gegeben wurde, da ich nicht auf = 0 damit komme.
z.Z.: abelsch:
m(a,b) = m(b,a)
Hier weiss ich nicht, wie ich den Beweis anfangen soll, mir hilft leider der Tipp mit der Inversen für a auch nicht weiter. :(
Ich wär sehr froh über Tipps! Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Was ist [mm] $Qr\{-1\}$ [/mm] für eine Menge?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mi 05.10.2016 | | Autor: | mariella22 |
Rationale Zahlen ohne -1
sorry, irgendwie ist da ein r reingerutscht
|
|
|
| |
|
Hiho,
erstmal: nutze doch bitte den Formeleditor. Das macht das Lesen um einiges eindeutiger!
> Bei a) dachte ich, dass ich beweisen müsse, dass m(a,b) ebenfalls nicht -1 annehmen kann.
Und du solltest begründen, warum $m(a,b) [mm] \in \IQ$ [/mm] gilt.
Um zu zeigen, dass $m(a,b) [mm] \not= [/mm] -1$ nimm mal an, dass $m(a,b) = -1$ gilt,
d.h. es müsste gelten: $(a+1)(b+1) - 1 = -1$
bzw $(a+1)(b+1) = 0$
Überlege nun, wann ein Produkt 0 ist und welche Bedingungen sich daraus an a und b ergeben.
> Bei b) ist mein Ansatz:
>
> (A) zu Zeigen: m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))
>
> m(m(a,b),c) = abc +ac + bc + ab +a +b +c
> m(a,m(b,c) = abc + ab + ac + a + bc + b + c
>
> (N) Zu zeigen: ae=a , be=b
>
> a * e + a + e = a
> a * 0 + a + 0 = a
>
> genauso für be=b
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (I) Zu zeigen: a(-a)=e=0
>
> Und hier scheitere ich mit der Inverse die von a gegeben
> wurde, da ich nicht auf = 0 damit komme.
Dann rechne doch mal vor!
Tipp: Auch hier bietet sich die zweite Darstellung an. Und dann ist es normale Bruchrechnung 5. Klasse…
>
> z.Z.: abelsch:
>
> m(a,b) = m(b,a)
Schreib doch mal die linke Seite aus, dann schreibe die rechte Seite aus und dann überlege, warum beide Seiten gleich sind.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke schön!!!
Also 1. ist mir jetzt klar.. wenn (a+1) oder (b+1) gleich null sein, ist entweder a oder b = -1 und das ist ja ausgeschlossen.
Zu zweitens, hat sich erledigt :)
Und zum abelsch:
m(a,b)=(a+1)(b+1)-1
m(b,a)=(b+1)(a+1)-1
Reicht es das so hinzuschreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:42 Do 06.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Danke schön!!!
>
> Also 1. ist mir jetzt klar.. wenn (a+1) oder (b+1) gleich
> null sein, ist entweder a oder b = -1 und das ist ja
> ausgeschlossen.
>
> Zu zweitens, hat sich erledigt :)
>
> Und zum abelsch:
>
> m(a,b)=(a+1)(b+1)-1
> m(b,a)=(b+1)(a+1)-1
>
> Reicht es das so hinzuschreiben?
Na ja, warum so schreibfaul ? Ich würde noch sowas spendieren:
" nun sieht man, dass m(a,b)=mb,a) ist."
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Do 06.10.2016 | | Autor: | mariella22 |
Vielen Dank für die Hilfe!
|
|
|
|
