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Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:03 Mi 12.10.2016
Autor: Jura86

Aufgabe
Bestimmen Sie die Entfernung zwischen zwei Punkten A und B, wobei der Abstand
zwischen A bzw. B und dem Ursprung O 50m bzw. 80m ist, und der Winkel zwischen OA und OB
π/3
. Fertigen Sie zusätzlich eine Skizze an.

Moin !

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich anfangen soll.

Kann mir jemand sagen wie ich diese Aufgabe angehen soll ?
Aus der Schule, weiß ich dass man das mit dem Satz des Phytagoras machen könnte.
Aber das geht nur bei einem rechten Winkel oder nicht ?
Das andere ist, dass ich ja ein Winkel gegeben habe.
Ich weiß zwar das im Dreieck alle Winkel eine Summe von 180° haben, aber ich habe ja nur ein Winkel gegeben.
Muss ich irgendwie mit Skalarproduckt rechnen ?

Wir haben leider kein Ergebnis vorgegeben bekommen
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen ?

Vielen Dank im Voraus !!

        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:28 Mi 12.10.2016
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie die Entfernung zwischen zwei Punkten A und B,
> wobei der Abstand
>  zwischen A bzw. B und dem Ursprung O 50m bzw. 80m ist, und
> der Winkel zwischen OA und OB
>  π/3
>  . Fertigen Sie zusätzlich eine Skizze an.
>  Moin !
>  
> Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich
> anfangen soll.
>  
> Kann mir jemand sagen wie ich diese Aufgabe angehen soll ?
>  Aus der Schule, weiß ich dass man das mit dem Satz des
> Phytagoras machen könnte.
>  Aber das geht nur bei einem rechten Winkel oder nicht ?

Hallo,

ja, für den Satz des Pythagoras brauchst Du einen rechten Winkel.
Diese Aufgabe könntest Du mit Mitteln der Mittelstufe mit dem Kosinussatz lösen, Du hast ja zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gegeben und suchst die Länge der gegenüberliegenden Seite.

Ich gehe allerdings davon aus, daß Du es mithilfe Deiner neuerworbenen Vektorrecnungskünste lösen sollst.

Eine Skizze, auf der man 0, A und B sieht, hast Du?

Jetzt geht's los.
Den Ortsvektor von A, [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] nennen wir [mm] \vec{a}, [/mm]
den Ortsvektor von B, [mm] \overrightarrow{0B} [/mm] nennen wir [mm] \vec{b}. [/mm]

Jetzt notiere, was Du weißt:

[mm] |\vec{a}|=... [/mm]
[mm] |\vec{b}|=... [/mm]
[mm] \angle{\vec{a},\vec{b}}= [/mm]

Wie bekommt man [mm] \overrightarrow{AB}=? [/mm]

[mm] \overrightarrow{AB}=... [/mm]

Wie berechnet man seine Länge?

[mm] \overrightarrow{AB}=... [/mm]

Wenn Du bisher gut vorwärts gekommen bist, wirst Du sehen, daß es nützlich ist, sich an
[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*\vec{b}*cos(\angle{\vec{a},\vec{b}}) [/mm]
zu erinnern...

Leg' mal los!

LG Angela




>  Das andere ist, dass ich ja ein Winkel gegeben habe.
> Ich weiß zwar das im Dreieck alle Winkel eine Summe von
> 180° haben, aber ich habe ja nur ein Winkel gegeben.
>  Muss ich irgendwie mit Skalarproduckt rechnen ?
>  
> Wir haben leider kein Ergebnis vorgegeben bekommen
>  Kann mir jemand auf die Sprünge helfen ?
>  
> Vielen Dank im Voraus !!


Bezug
                
Bezug
Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Mi 19.10.2016
Autor: Jura86

Hallo Angela,

Erstmal danke für deine Antwort.

ich habe mir folgendes überlegt.

Also der Vektor [mm] \vec{OA} [/mm] hat ja die Länge 50.
Und ich habe mal gelernt, dass für Berechnung der Länge folgendes gilt : [mm] \sqrt{a^2+b^2} [/mm] = |a|

also |a|= 50
ist das so ?

aus diesen Grund habe ich für |b|  = 80 gewählt.

dann gibt es ja die Formel : [mm] cos(\alpha)=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}} [/mm]

Da mir jetzt [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] fehlt  kann ich ja diese Formel anwenden
[mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] = [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|* cos(\alpha) [/mm]

Dann habe ich einfach mal die Werte eingesetzt:

[mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] = 50 * 80 * [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] da bekomme ich [mm] \bruch{4000\pi}{3} [/mm] raus.

Wenn ich [mm] \vec{AB} [/mm] ausrechnen möchte, muss ich doch ein Vektor [mm] \vec{c} [/mm] haben oder ?

Wenn das so ist, müsste ich [mm] |\vec{c}| [/mm] raus bekommen.

da würde ich wieder auf diese Formel zurückgreifen [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{c}}{|\vec{a}|*|\vec{c}|} [/mm] = [mm] cos(\beta) [/mm]

Ich könnte die Formel nach [mm] |\vec{c}| [/mm] umstellen. und dann hätte ich den Abstand ( Denke ich mal). Aber mir fehlt dann ein weiterer Winkel [mm] \beta. [/mm]

Ist die Überlegung in etwa richtig oder komplett verkehrt ?

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Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Mi 19.10.2016
Autor: Steffi21

Hallo, Du benötigst ja auch eine Skizze

[Dateianhang nicht öffentlich]

Was kennst Du

[mm] \vec{a}=\vektor{0 \\ 50} [/mm] und [mm] |\vec{a}|=50 [/mm]

[mm] \vec{b}=\vektor{b_x \\ b_y} [/mm] und [mm] |\vec{b}|=80 [/mm]

[mm] \vec{c}=\vektor{a_x-b_x \\ a_y-b_y}=\vektor{0-b_x \\ 50-b_y}=\vektor{-b_x \\ 50-b_y} [/mm]

[mm] \vec{a}*\vec{b}=\vektor{0 \\ 50}*\vektor{b_x \\ b_y}=2000 [/mm] ist Dir klar, wo die 2000 herkommt

[mm] 50*b_y=2000 [/mm]

[mm] b_y=40 [/mm]

aus dem Betrag von [mm] \vec{b} [/mm] folgt [mm] b_x [/mm]

der Rest ist für Dich

Steffi








Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 So 23.10.2016
Autor: Jura86

Hallo Steffi 21,

Anscheinend bin ich in diesen Thema nicht so fit.
Ich habe versucht deine Klugen Vorschlag nachzuvollziehen,
Deine Mühe hat sich auf jeden fall gelohnt weil ich diese Ausdrücke zu erstem mal sehe.
Habe mir auch alles so notiert. Da ich aber kein Abi habe sondern nur ein Hauptschulabschluss ist hier natürlich eine Große Wissenslücke. daher Kann ich nur raten woher die 2000 kommen könnte.  Wenn ich 50 * 80 rechne bekomme ich 4000 und die 2000 ist die hälfte.
Wie man weiter macht, habe ich nach langen hin und her überlegen nicht kapiert..

jedoch kann mir eine andere Idee auf.
Du hast mir den wichtigen Tipp gegeben: Eine Zeichnung zu machen. die hatte ich auch gemacht aber nicht so sorgfältig. Durch deine Zeichnung kam ich auf die Idee Meine Zeichnung sorgfältiger zu machen und da viel mir ein, dass ich die Punkte doch ablesen kann. Und dadurch  die Koordinaten bestimmen kann.
d = [mm] \sqrt{(y_1-y_2)+(x_2-x_1)} [/mm]

dadurch habe ich jetzt für dem Abstand 68.59 raus.

Ich weiß jetzt nicht ob so ein Rechenweg auf unserer Uni zulässig ist.

Aber jetzt zu deinem Vorschlag.. ich weiß ehrlich nicht wie ich weitermachen soll.. gibt es vielleicht irgendwo ein Video dafür wo der kompletter Rechenweg zu sehen ist ?

Gruß Jörg






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Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 So 23.10.2016
Autor: Steffi21

Hallo Jura, ich stehe zunächst etwas auf der Drehscheibe, Du hast Hauptschulabschluss und studierst, wie funktioniert das? Da fehlen Dir ja nicht nur mathematische Kenntnisse. Zu Deinem Dreieck, es läßt sich natürlich ganz schnell mit dem Cosinussatz lösen, kein Mensch würde diese Aufgabe mit Vektoren lösen. Da in Deiner Frage aber vom "Skalrprodukt" die Rede ist, nahm ich an, Du möchtest die Aufgabe über die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] lösen. Nun zu Deiner Frage, wo kommt die 2000 her:

[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(60^0)=50*80*0,5=2000 [/mm]

Wenn Du weitere Fragen hast, stelle sie

Steffi



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Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 So 23.10.2016
Autor: leduart

Hallo
[mm] cos(\pi/3)=1/2 [/mm] deshalb |a|*|b|*cos((˜pi/3)=4000*1/2
wenn du a auf die y Achse malst a=(0,5=kannst du b direkt als 80*(cos(30°),sin(30)) ablesen
und dann AB mit Phythagoras ausrechnen
oder eben mit dem Skalarprodkt.
Gruß leduart



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Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Mi 19.10.2016
Autor: meili

Hallo Jura86,

siehe []Kosinussatz

Da Abstände gegeben sind und ein Abstand gesucht ist, braucht man
nicht die Vektorform des Kosinussatz, sondern kann mit den Abständen
(Seitenlängen) rechnen. (1.1)

Für $cos [mm] \left( \bruch{\pi}{3}\right)$ [/mm] solltest du den Kosinus einsetzen,
und nicht den Winkel, wie du es gemacht hast.

Gruß
meili

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