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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mi 22.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
| Aufgabe | Welche Teilmengen des [mm] \IR^{3} ={x=\pmat {x_{1} & x_{2} & x_{3}} | x_{1},x_{2},x_{3} \in \IR} [/mm] sind Untervektorräume des [mm] \IR^{3}
[/mm]
a) [mm] \emptyset
[/mm]
b) [mm] {\vec{x} \in \IR^{3}> x_{1}+x_{2}=0 \wedge x_{3}=0}
[/mm]
c) {x [mm] \in \IR^{3}| x_{1}*x_{3} [/mm] = 0}
d) {x [mm] \in \IR^{3}|x_{1},x_{2},x_{3} \in \IZ}
[/mm]
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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier mal meine Lösungsverschläge:
zu a)
Die Leere Menge ist kein Untervektorraum, da das Nullelement nicht in ihr enthalten ist.
zu b)
Beispiel: [mm] \vec{a}=(1,-1,0) \vec{b}=(2,-2,0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vec{a}+\vec{b} [/mm] = (3,-3,0)
Bin mir allerdings bei der allgemeinen Begründung nicht ganz sicher.:
Sei [mm] \vec{x}= (x_{1},x_{2},x_{3})=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}= \pmat{ a_{1}+ & b_{1} & +c_{1} \\ a_{2}+ & b_{2} & +c_{2} \\ a_{3}+ & b_{3} & +c_{3} }
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{1}+a_{2}=0
[/mm]
[mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2}=0
[/mm]
[mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] =0
[mm] \Rightarrow \vec{x_{1}}+\vec{x_{2}}=0
[/mm]
[mm] a_{1}+a_{2}+b_{1} [/mm] + [mm] b_{2}+c_{1} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] =0 stimmt also.
wie kann ich jetzt noch meinen Vektor c mit in die Begründung bringen?
Könnte ich einfach schreiben das c aus der Unterraum Bedingung schon Null ist?
zu c)
[mm] \vec{x}=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}= \vec{a}+\vec{b}=\pmat{ a_{1} & +b_{1} \\ a_{2} & +b_{2} }
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{1}*a_{2}=0 [/mm] sowie [mm] b_{1}*b_{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1}*x_{2}=0
[/mm]
[mm] (a_{1}+b_{1})*(a_{2}+b_{2})=0 [/mm] Das ist dann falsch, da die Gleichung aufgelöst:
[mm] a_{1}*b{2}+b_{1}*a_{2}\not=0
[/mm]
passt das soweit?
zu d)
Kein Unterraum, weil ein Vektorraum über einem Körper definiert ist und [mm] \IZ [/mm] eben kein Körper ist.
gruß
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Hallo FMX87,
> Welche Teilmengen des [mm]\IR^{3} ={x=\pmat x_{1} & x_{2} & x_{3} | x_{1},x_{2},x_{3} \in \IR}[/mm]
> sind Untervektorräume des [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> a) [mm]\emptyset[/mm]
> b) [mm]{\vec{x} \in \IR^{3}> x_{1}+x_{2}=0 \wedge x_{3}=0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> c)
> {x [mm]\in \IR^{3}| x_{1}*x_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0}
> d) {x [mm]\in \IR^{3}|x_{1},x_{2},x_{3} \in \IZ}[/mm]
>
> Begründen Sie die Lösungen.
>
>
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hier mal meine Lösungsverschläge:
>
> zu a)
>
> Die Leere Menge ist kein Untervektorraum, da das
> Nullelement nicht in ihr enthalten ist.
Jo!
>
> zu b)
>
> Beispiel: [mm]\vec{a}=(1,-1,0) \vec{b}=(2,-2,0)[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}[/mm]
> = (3,-3,0)
>
> Bin mir allerdings bei der allgemeinen Begründung nicht
> ganz sicher.:
>
> Sei [mm]\vec{x}= (x_{1},x_{2},x_{3})=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}= \pmat{ a_{1}+ & b_{1} & +c_{1} \\
a_{2}+ & b_{2} & +c_{2} \\
a_{3}+ & b_{3} & +c_{3} }[/mm]
Wieso addierst du 3 Vektoren?
>
> [mm]\Rightarrow a_{1}+a_{2}=0[/mm]
> [mm]b_{1}[/mm] +
> [mm]b_{2}=0[/mm]
> [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] =0
>
> [mm]\Rightarrow \vec{x_{1}}+\vec{x_{2}}=0[/mm]
>
> [mm]a_{1}+a_{2}+b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}+c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] =0 stimmt also.
>
> wie kann ich jetzt noch meinen Vektor c mit in die
> Begründung bringen?
> Könnte ich einfach schreiben das c aus der Unterraum
> Bedingung schon Null ist?
Du musst zeigen, dass die Summe zweier Vektoren aus dem vermeintlichen Unterraum (ich nenne das jetzt U) wieder in dieser Menge ist und dass reelle Vielfache eines Vektors aus U wieder in U sind.
Nimm dir dazu 2 ganz allg. Vektoren [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] und [mm]y=\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}\in U[/mm] her.
Dann lassen die sich schreiben als [mm]x=\vektor{x_1\\
-x_1\\
0}, y=\vektor{y_1\\
-y_1\\
0}[/mm] - das ist ja die Bedingung an die Vektoren aus U
Dann ist aber [mm]x+y=\vektor{x_1+y_1\\
-x_1-y_1\\
0+0}=\vektor{x_1+y_1\\
-(x_1+y_1)\\
0}[/mm]
Ist das Ding in [mm]U[/mm] ?
Ähnlich mit [mm]\lambda\cdot{}x=\lambda\cdot{}\vektor{x_1\\
-x_1\\
0}=\ldots[/mm]
>
> zu c)
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{x_{1} \\
x_{2}}= \vec{a}+\vec{b}=\pmat{ a_{1} & +b_{1} \\
a_{2} & +b_{2} }[/mm]
Nana, die Vektoren sind doch aus dem [mm]\IR^3[/mm] !!
Also [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] mit [mm]x_1\cdot{}x_3=0, x_2[/mm] beliebig reell
>
> [mm]\Rightarrow a_{1}*a_{2}=0[/mm] sowie [mm]b_{1}*b_{2}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1}*x_{2}=0[/mm]
>
> [mm](a_{1}*b_{1})*(a_{2}*b_{2})=0[/mm] Das ist dann falsch, da:
>
> [mm]a_{1}*b{2}+b_{1}*a_{2}\not=0[/mm]
>
>
> passt das soweit?
Ich verstehe hier nur Bahnhof.
Beachte, dass [mm]x_1\cdot{}x_3=0\gdw x_1=0 \ \text{oder} \ x_3=0[/mm] und ebenso [mm]y_1\cdot{}y_3=0\gdw y_1=0 \ \text{oder} \ y_3=0[/mm]
Suche zwei konkrete Vektoren [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] und [mm]y=\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}[/mm], bei denen der Summenvektor [mm]x+y=z[/mm] die Bed. [mm]z_1\cdot{}z_3=0[/mm] nicht erfüllt.
Tipp: Nimm dir einen mit [mm]x_1=0, x_3\neq 0[/mm] und einen anderen mit [mm]y_1\neq 0, y_3=0[/mm] ...
Wie gesagt, gib zwei Vektoren x,y explizit an, die dir die VR-Eigenschaft kaputt machen ...
>
> zu d)
>
> Kein Unterraum, weil ein Vektorraum über einem Körper
> definiert ist und [mm]\IZ[/mm] eben kein Körper ist.
Naja, das soll ja auch ein [mm]\IR[/mm]-VR sein (oder auch nicht)
Die Skalare sind doch aus [mm]\IR[/mm]
Es ist zwar [mm]x+y\in U[/mm], denn die Summe zweier ganzen Zahlen ist eine ganze Zahl, damit sind die Einträge im Summenvektor ganzzahlig.
Aber für die skalare Mult. mit Skalaren in [mm]\IR[/mm] geht die Bed. kaputt.
Gib ein [mm]\lambda\in\IR[/mm] an, so dass [mm]\lambda\cdot{}\vektor{z_1\\
z_2\\
z_3}[/mm] mit [mm]z_1,z_2,z_3\in\IZ[/mm] keine ganzzahligen Einträge mehr hat
>
> gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mi 22.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Hallo!
> Wieso addierst du 3 Vektoren?
>
> >
> > [mm]\Rightarrow a_{1}+a_{2}=0[/mm]
> > [mm]b_{1}[/mm] +
> > [mm]b_{2}=0[/mm]
> > [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] =0
> >
> > [mm]\Rightarrow \vec{x_{1}}+\vec{x_{2}}=0[/mm]
> >
> > [mm]a_{1}+a_{2}+b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}+c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] =0 stimmt also.
> Du musst zeigen, dass die Summe zweier Vektoren aus dem
> vermeintlichen Unterraum (ich nenne das jetzt U) wieder in
> dieser Menge ist und dass reelle Vielfache eines Vektors
> aus U wieder in U sind.
>
> Nimm dir dazu 2 ganz allg. Vektoren [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm]
> und [mm]y=\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}\in U[/mm] her.
>
> Dann lassen die sich schreiben als [mm]x=\vektor{x_1\\
-x_1\\
0}, y=\vektor{y_1\\
-y_1\\
0}[/mm]
> - das ist ja die Bedingung an die Vektoren aus U
>
> Dann ist aber [mm]x+y=\vektor{x_1+y_1\\
-x_1-y_1\\
0+0}=\vektor{x_1+y_1\\
-(x_1+y_1)\\
0}[/mm]
>
> Ist das Ding in [mm]U[/mm] ?
Ja.
> Nana, die Vektoren sind doch aus dem [mm]\IR^3[/mm] !!
stimmt, blöder fehler.
> Also [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] mit [mm]x_1\cdot{}x_3=0, x_2[/mm]
> beliebig reell
>
>
> >
> > [mm]\Rightarrow a_{1}*a_{2}=0[/mm] sowie [mm]b_{1}*b_{2}=0[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow x_{1}*x_{2}=0[/mm]
> >
> > [mm](a_{1}*b_{1})*(a_{2}*b_{2})=0[/mm] Das ist dann falsch, da:
> >
> > [mm]a_{1}*b{2}+b_{1}*a_{2}\not=0[/mm]
> >
> >
> > passt das soweit?
>
> Ich verstehe hier nur Bahnhof.
Habs noch mal abgeändert. Sollte eigentlich ein + zwischen beiden Ausdrücken stehen.
> Wie gesagt, gib zwei Vektoren x,y explizit an, die dir die
> VR-Eigenschaft kaputt machen ...
(0,1) und (1,0) Die Addition geht nicht.
> Aber für die skalare Mult. mit Skalaren in [mm]\IR[/mm] geht die
> Bed. kaputt.
>
> Gib ein [mm]\lambda\in\IR[/mm] an, so dass
> [mm]\lambda\cdot{}\vektor{z_1\\
z_2\\
z_3}[/mm] mit
> [mm]z_1,z_2,z_3\in\IZ[/mm] keine ganzzahligen Einträge mehr hat
Bsp. : [mm] \lambda= \bruch{1}{3}
[/mm]
> > gruß
>
> LG
>
> schachuzipus
Danke für die schnelle und Ausführliche Antwort!
gruß
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Hallo nochmal,
> > Du musst zeigen, dass die Summe zweier Vektoren aus dem
> > vermeintlichen Unterraum (ich nenne das jetzt U) wieder in
> > dieser Menge ist und dass reelle Vielfache eines Vektors
> > aus U wieder in U sind.
> >
> > Nimm dir dazu 2 ganz allg. Vektoren [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm]
> > und [mm]y=\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}\in U[/mm] her.
> >
> > Dann lassen die sich schreiben als [mm]x=\vektor{x_1\\
-x_1\\
0}, y=\vektor{y_1\\
-y_1\\
0}[/mm]
> > - das ist ja die Bedingung an die Vektoren aus U
> >
> > Dann ist aber [mm]x+y=\vektor{x_1+y_1\\
-x_1-y_1\\
0+0}=\vektor{x_1+y_1\\
-(x_1+y_1)\\
0}[/mm]
>
> >
> > Ist das Ding in [mm]U[/mm] ?
>
> Ja.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Prüfe noch die andere Bedingung nach!
>
>
>
> > Nana, die Vektoren sind doch aus dem [mm]\IR^3[/mm] !!
>
> stimmt, blöder fehler.
>
> > Also [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] mit [mm]x_1\cdot{}x_3=0, x_2[/mm]
> > beliebig reell
> >
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow a_{1}*a_{2}=0[/mm] sowie [mm]b_{1}*b_{2}=0[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow x_{1}*x_{2}=0[/mm]
> > >
> > > [mm](a_{1}*b_{1})*(a_{2}*b_{2})=0[/mm] Das ist dann falsch, da:
> > >
> > > [mm]a_{1}*b{2}+b_{1}*a_{2}\not=0[/mm]
> > >
> > >
> > > passt das soweit?
> >
> > Ich verstehe hier nur Bahnhof.
>
> Habs noch mal abgeändert. Sollte eigentlich ein + zwischen
> beiden Ausdrücken stehen.
>
>
> > Wie gesagt, gib zwei Vektoren x,y explizit an, die dir die
> > VR-Eigenschaft kaputt machen ...
>
> (0,1) und (1,0) Die Addition geht nicht.
Nochmal, die Vektoren sind aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] !
Besseres Gegenbsp. [mm] $x=\vektor{0\\5\\1}, y=\vektor{1\\\pi\\0}$
[/mm]
>
>
> > Aber für die skalare Mult. mit Skalaren in [mm]\IR[/mm] geht die
> > Bed. kaputt.
> >
> > Gib ein [mm]\lambda\in\IR[/mm] an, so dass
> > [mm]\lambda\cdot{}\vektor{z_1\\
z_2\\
z_3}[/mm] mit
> > [mm]z_1,z_2,z_3\in\IZ[/mm] keine ganzzahligen Einträge mehr hat
>
> Bsp. : [mm]\lambda= \bruch{1}{3}[/mm]
Genau!
> Danke für die schnelle und Ausführliche Antwort!
>
> gruß
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 22.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Danke für die Hilfe.
gruß
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