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Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Fr 24.06.2011
Autor: FMX87

Aufgabe
a)
Geben Sie die Ebenengleichung der von den Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm]
aufgespannten dreidimensionalen Ebene H im [mm] R^{4} [/mm] in der Hesse-Normalform an.

b)
Dann soll der Abstand von [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm]
zu H und der Winkel zwischen [mm] \vec{x} [/mm] und der normalen von H berechnet werden.


Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hier der Ansatz zu a):
Hab die Punkte erst mal mit a,b,c bezeichnet.

[mm] a=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};c=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm]

Dann schaut die Ebene so aus:
E: [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}= \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1} [/mm]

Die Richtungsvektoren hab ich durch:

[mm] \lambda(b-a) [/mm]
[mm] \mu(c-a) [/mm]

Nun der normalenvektor, der ja senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht.

[mm] n=\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \\ n_{4}} [/mm]

Skalar mit beiden Richtungsvektoren multipliziert ergibt folgendes Gleichungssystem.

[mm] n_{2}-n_{3}=0 [/mm]
[mm] n_{2}-n_{3}=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow n_{2}=n_{3}=n_{4} [/mm]

folgt daraus nun, dass [mm] n_{1}=0 [/mm] ist?

Der normalen Vektor wäre ja dann:

[mm] n=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ?


[mm] \Rightarrow [/mm] E: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \odot (\vec{x}-\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1})=0 [/mm]

Bei der Hesse Form müsste ich jetzt theoretisch nur noch [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] vor meinen Normalenvektor stellen?

Ist das richtig soweit?



gruß





        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Fr 24.06.2011
Autor: angela.h.b.


> a)
>  Geben Sie die Ebenengleichung der von den Vektoren
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> aufgespannten dreidimensionalen Ebene H im [mm]R^{4}[/mm] in der
> Hesse-Normalform an.

Hallo,

ist das die Originalformulierung von Deinem Aufgabenblatt?

>  
> b)
>  Dann soll der Abstand von [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>  
> zu H und der Winkel zwischen [mm]\vec{x}[/mm] und der normalen von H
> berechnet werden.

>  
> Hier der Ansatz zu a):
>  Hab die Punkte erst mal mit a,b,c bezeichnet.

Punkte haben wir hier ja gar nicht.
Wir sind im [mm] \IR^4, [/mm] und es sind Dir drei Vektoren a,b,c gegeben, die eine dreidimensionale (=(4-1)-dimensionale) Ebene aufspannen.

>  
> [mm]a=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};c=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> Dann schaut die Ebene so aus:
> E: [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}= \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}[/mm]


Dieses Gebilde ist nicht dreidimensional!
Es ist ein zweidimensionaler affiner Unterraum des [mm] \IR^4. [/mm]

Du sollst Dich hingegen mit [mm] H=span($\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}$) [/mm] beschäftigen.

"Span" ist das dasselbe wie "lineare Hülle" oder "Erzeugnis".

Gruß v. Angela


>  
> Die Richtungsvektoren hab ich durch:
>  
> [mm]\lambda(b-a)[/mm]
>  [mm]\mu(c-a)[/mm]
>  
> Nun der normalenvektor, der ja senkrecht auf beiden
> Richtungsvektoren steht.
>  
> [mm]n=\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \\ n_{4}}[/mm]
>  
> Skalar mit beiden Richtungsvektoren multipliziert ergibt
> folgendes Gleichungssystem.
>  
> [mm]n_{2}-n_{3}=0[/mm]
>  [mm]n_{2}-n_{3}=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow n_{2}=n_{3}=n_{4}[/mm]
>  
> folgt daraus nun, dass [mm]n_{1}=0[/mm] ist?
>  
> Der normalen Vektor wäre ja dann:
>  
> [mm]n=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ?
>  
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] E: [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \odot (\vec{x}-\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1})=0[/mm]
>  
> Bei der Hesse Form müsste ich jetzt theoretisch nur noch
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] vor meinen Normalenvektor stellen?
>  
> Ist das richtig soweit?
>  
>
>
> gruß
>  
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Fr 24.06.2011
Autor: FMX87

Hallo!

> Du sollst Dich hingegen mit H=span([mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm])
> beschäftigen.
>  
> "Span" ist das dasselbe wie "lineare Hülle" oder
> "Erzeugnis".


Ok. Betrachte ich das als Span.

Den Untervektorraum kann ich dann durch das Skalarprodukt beschreiben, wenn ich ein entsprechendes "j" finde

Mit x [mm] \in \IR^{n} [/mm]

[mm] <\vec{x},\vec{j}>=0 [/mm]

Mit den drei vorgegebenen Vektoren erhalte ich dann folgendes Gleichungssystem:

[mm] j_{1}+j_{3}+j_{4}=0 [/mm]
[mm] j_{1}+j_{2}+j_{4}=0 [/mm]
[mm] j_{1}+j_{2}+j_{3}=0 [/mm]


Ist die Normale dann etwa j= [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ -1}? [/mm]
  





Bezug
                        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:40 Sa 25.06.2011
Autor: angela.h.b.


> >  H=span([mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm])


> Ist die Normale dann etwa j= [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ -1}?[/mm]

Hallo,

ja, das ist ein Normalenvektor von H.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Sa 25.06.2011
Autor: FMX87

Hallo!

>j= [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ -1}?[/mm]

>  
> Hallo,
>  
> ja, das ist ein Normalenvektor von H.
>  


Gut.

Nun muss ich diesen normalisieren in der Form:

[mm] j_{n}=\bruch{1}{|j|}*j [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{7}}*\vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ -1} [/mm]

<x,j>=0 beschreibt dann meine Ebene?

Also  E:  [mm] \bruch{2}{\wurzel{7}}*x_{1}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{2}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{3}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{4} [/mm]


Zu b)

Der Abstand ist dann |<c,x>| =| [mm] \bruch{1}{\wurzel{7}}*(2-2-3-4)| [/mm] = [mm] \wurzel{7} [/mm]

Der Winkel: [mm] cos(\alpha)=\bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{30}} [/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha=61° [/mm]

Passt das dann so?


Bezug
                                        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Sa 25.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Hallo!
>  
> >j= [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ -1}?[/mm]
>  >  
> > Hallo,
>  >  
> > ja, das ist ein Normalenvektor von H.
>  >  
>
>
> Gut.
>  
> Nun muss ich diesen normalisieren in der Form:
>  
> [mm]j_{n}=\bruch{1}{|j|}*j[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{7}}*\vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
>  
> <x,j>=0 beschreibt dann meine Ebene?
>  
> Also  E:  
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{7}}*x_{1}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{2}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{3}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{4}[/mm][mm] \red{=0} [/mm]

Hallo,

ja.


>  
>
> Zu b)
>  
> Der Abstand ist dann |<c,x>| =|
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{7}}*(2-2-3-4)|[/mm] = [mm]\wurzel{7}[/mm]

Ja.

>  
> Der Winkel: [mm]cos(\alpha)=\red{-}\bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{30}}[/mm]

Das Minuszeichen ändert dann den Winkel.

Gruß v. Angela
</c,x></x,j>

Bezug
                                                
Bezug
Lineare Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Sa 25.06.2011
Autor: FMX87

Danke für die Hilfe!

gruß

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