Lineare Algebra, linear abhäng < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mi 22.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo!
Meine Frage:
Vorausgesetzt ist folgendes:
1.) Drei Vektoren x,y,z mit Komponenten x=(a,b,c) ; y=(b,c,a) ; z=(c,a,b)
Diese drei Vektoren seien linear abhängig.
[mm] 2.)a^3 +b^3+c^3=3abc [/mm] ( ^=hoch , abc=a mal b mal c ; außerdem sind
natürlich diese a,b,c dieselben a,b,c wie in 1.) !! )
Frage : zu zeigen ist die Äquivalenz beider Aussagen 1 und 2 , also, daß
aus 1. eben 2. folgt und umgekehrt, muß sehr einfach und schnell zu lösen
sein, da das nur Mathe für Wiwis ist...
Danke!
eini
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Do 23.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo eini,
man kann sich bei der Aufgabe einen Wolf rechnen (so wie ich das gerade erst getan habe :-() oder aber man denkt daran, dass:
(*) die Vektoren $x,y,z$ hier genau dann linear abhängig sind, wenn die Determinante:
[m]\begin{vmatrix}
x & y & z \end{vmatrix}[/m] den Wert $0$ annimmt.
Etwa nach der Regel von Sarrus (siehe ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus) erhältst du hier für die Determinante:
[m]\begin{vmatrix}
x & y & z \end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b \end{vmatrix}[/m]
$=a*c*b+b*a*c+c*b*a-c³-a³-b³$
$=3*a*b*c-(a³+b³+c³)$
Wegen (*) sind also $x,y,z$ genau dann linear abhängig, wenn:
$3*a*b*c-(a³+b³+c³)=0$ gilt, und damit erhält man:
$x,y,z$ sind genau dann linear abhängig, wenn [m]a³+b³+c³=3abc[/m] gilt.
Das war die Behauptung, und damit ist der Beweis fertig. 
PS: Man kann die Determinante auch nach dem Entwicklungssatz von Laplace entwickeln, wenn man die Regel von Sarrus nicht mag:
[m]\begin{vmatrix}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b \end{vmatrix}[/m]
[m]=a*\begin{vmatrix}
c & a \\
a & b \end{vmatrix}
- b*\begin{vmatrix}
b & a \\
c & b \end{vmatrix}
+ c* \begin{vmatrix}
b & c \\
c & a \end{vmatrix}[/m]
[m]=a*(cb-a²)-b(b²-ac)+c(ab-c²)
=3abc-(a³+b³+c³)[/m]
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Fr 24.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die schnelle Antwort.Ich hab´s - vermutlich so wie Du zuerst auch - mit Parametern probiert, muß ja wohl auch irgendwie funktionieren ( oder nicht !? ), habe es aber abgebrochen, da es viel zu rechenaufwendig wurde, es mußte irgendwie schneller gehen... Das mit der Determinante wußte ich ja schon als 17-jähriger, hatte es wieder vergessen...
Eine Frage: Ist denn damit nicht erst nur die Richtung von 1 nach 2 bewiesen und wie wäre der Beweis von 2 nach 1 ? Das ist ja der Äquivalenzbeweis, soweit ich weiß : ) ...
Ich hätte da noch eine Frage, aber ich denke, ich eröffne dazu einen neuen Strang heute abend, da er mit dieser Aufgabe so gar nichts zu tun hat...
Also, tolle Einrichtung hier, werde mich an der Lösung von irgendwelchen leichten : ) Aufgaben beteiligen, soweit es die Zeit erlaubt...
Viele Grüße!
eini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 24.09.2004 | | Autor: | ajl |
hallo eini,
es ist mit marcels antwort bereits die äquivalenz bewiesen.
(daher auch die aussage "genau dann ..., wenn...", also beide richtungen).
du kannst ja mal seine rechnung von unten nach oben lesen:
gegeben: [mm]3*a*b*c=a³+b³+c³[/mm]
somit: [mm]3*a*b*c-(a³+b³+c³)=0[/mm]
also: [mm]a*c*b+b*a*c+c*b*a -c³-a³-b³=0=\begin{vmatrix}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b \end{vmatrix}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo eini,
also: die Aussage lautet (ich schreibe mal kurz det($x,y,z$) für die Determinante):
$x,y,z$ sind linear abhängig genau dann, wenn det($x,y,z$)$=0$.
Diese Aussage nochmal mit dem Äquivalenzzeichen hingeschrieben:
(*) $x,y,z$ sind linear abhängig [mm] $\gdw$ [/mm] det($x,y,z$)$=0$.
Ich habe nun gezeigt:
det($x,y,z$)$=0$ [mm] $\gdw$ $a^3+b^3+c^3=3abc$
[/mm]
Weil in (*) ein Äquivalenzzeichen steht, sind wir damit auch schon fertig.
Denn:
Wir haben gezeigt:
det($x,y,z$)$=0$ [mm] $\gdw$ $a^3+b^3+c^3=3abc$, [/mm] und mit (*) nix anderes als:
$x,y,z$ sind linear abhängig [mm] $\gdw$ [/mm] det($x,y,z$)$=0$ [mm] $\gdw$ $a^3+b^3+c^3=3abc$
[/mm]
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Sa 25.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Marcel und ajl,
danke für eure Antworten!
Alles verstanden, bin begeistert : ) !!
Bis bald!
eini
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