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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 So 07.06.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Lineare Approximation
Für das in einem Rohr vom Radius r pro Zeit transportierte Flüssigkeitsvolumen
gilt
V [mm] =\bruch{\pi}{8}*\bruch{r^4}{eta}*\bruch{\Delta{p}}{l}
[/mm]
mit [mm] \Delta{p}= [/mm] Druckdifferenz an den Enden, l = Rohrlänge, eta = Viskosität.
Führen Sie eine lineare Approximation durch, um folgende Fragen zu beantworten:
(a) Um wieviele Prozent muß man r verändern, um V um 10% zu steigern?
(b) Durch welche prozentuale Veränderung von [mm] \delta{p} [/mm] lässt sich dies erst erreichen? |
Hallo,
ich weiß leider überhaupt nicht weiter, das ist ein ganz neues thema für mich...
Was hat das ganze mit den Ableitungen zu tun? und was muss ich mit den Ableitungen machen, ich meine wenn ich partiell nach den drei größen [mm] \Delta{p}= [/mm] Druckdifferenz an den Enden, l = Rohrlänge, eta = Viskosität. abgeleitet habe, was mache ich dann damit? Brauche ich nicht irgendeine formel doer so dazu?
(den Buchstaben "eta" weiß ich nicht wie ich schreiben sollte..)
danke !
gruß
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> Lineare Approximation
> Für das in einem Rohr vom Radius r pro Zeit transportierte
> Flüssigkeitsvolumen
> gilt
> V [mm]=\bruch{\pi}{8}*\bruch{r^4}{eta}*\bruch{\Delta{p}}{l}[/mm]
>
> mit [mm]\Delta{p}=[/mm] Druckdifferenz an den Enden, l = Rohrlänge,
> eta = Viskosität.
> Führen Sie eine lineare Approximation durch, um folgende
> Fragen zu beantworten:
> (a) Um wieviele Prozent muß man r verändern, um V um 10%
> zu steigern?
> (b) Durch welche prozentuale Veränderung von [mm]\delta{p}[/mm]
> lässt sich dies erst erreichen?
> Hallo,
>
> ich weiß leider überhaupt nicht weiter, das ist ein ganz
> neues thema für mich...
> Was hat das ganze mit den Ableitungen zu tun? und was muss
> ich mit den Ableitungen machen, ich meine wenn ich partiell
> nach den drei größen [mm]\Delta{p}=[/mm] Druckdifferenz an den
> Enden, l = Rohrlänge, eta = Viskosität. abgeleitet habe,
> was mache ich dann damit? Brauche ich nicht irgendeine
> formel doer so dazu?
>
> (den Buchstaben "eta" weiß ich nicht wie ich schreiben
> sollte..)
>
> danke !
> gruß
Hallo Cracker,
In Frage (a) darf man wohl annehmen, dass [mm] \Delta{p},$\ [/mm] l$ und [mm] \eta
[/mm]
konstant bleiben. Dann haben wir also für V eine Funktion
der Form
$\ [mm] V(r)=C*r^4$
[/mm]
(alle konstanten Grössen in C verwurstet...)
Bezeichnen wir den ursprünglichen Rohrradius mit [mm] r_0 [/mm] ,
so können wir die Funktion V(r) in einer (kleinen) Umgebung
approximativ durch die lineare Funktion ersetzen, die
der Tangentengleichung entspricht. Diese Tangente
müsste also die Gerade durch den Punkt [mm] P_0(r_0/V_0)
[/mm]
mit der Steigung [mm] m=V'(r_0) [/mm] sein.
Eigentlich muss man hier die Tangentengleichung
nicht einmal komplett aufstellen, denn wir interes-
sieren uns ja nur für die Änderung [mm] \Delta{V} [/mm] des Volumens
in Abhängigkeit von einer (kleinen) Änderung [mm] \Delta{r} [/mm] des
Radius. Näherungsweise gilt dann:
[mm] $\Delta{V}\approx m*\Delta{r}$
[/mm]
Alles klar ?
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 07.06.2009 | | Autor: | cracker |
Hm, nein...nicht alles klar:(
[mm] m=V'(r_0) [/mm] muss ich also mit [mm] \Delta{r_{0}} [/mm] multiplizieren und dadurch das verhältnis berechnen wenn V um 10% größer werden soll? dann wäre doch auch r nur um 10% größer? was hat das dann mit approximation zu tun?
und bei augabe b wäre dann r konstant und [mm] \Delta{p} [/mm] die abhängige größe?
danke
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> Hm, nein...nicht alles klar:(
> [mm]m=V'(r_0)[/mm] muss ich also mit [mm]\Delta{r_{0}}[/mm] multiplizieren
> und dadurch das verhältnis berechnen wenn V um 10% größer
> werden soll? dann wäre doch auch r nur um 10% größer? was
> hat das dann mit approximation zu tun?
> und bei augabe b wäre dann r konstant und [mm]\Delta{p}[/mm] die
> abhängige größe?
> danke
Zuerst mal die Ableitung der Volumenfunktion:
[mm] V'(r)=\bruch{d}{dr}(C*r^4)=4*C*r^3
[/mm]
Für die Tangentensteigung m im Punkt [mm] P_0 [/mm] haben
wir also
[mm] m=V'(r_0)=4*C*r_0^3
[/mm]
Dies heisst dann, dass für genügend kleine [mm] \Delta{r} [/mm] gilt
[mm] $\Delta{V}\approx 4*C*r_0^3*\Delta{r}$ [/mm] (*)
Nun kann man eine Veränderung des Durchfluss-
volumens V um 10% durch die Gleichung
$\ [mm] \bruch{\Delta{V}}{V_0}\ [/mm] =\ 0.1 $ (**)
ausdrücken. Dividieren wir nun (*) durch [mm] V_0=C*r_0^4, [/mm] so
erhalten wir:
[mm] $\bruch{\Delta{V}}{V_0}\approx \bruch{4*C*r_0^3*\Delta{r}}{C*r_0^4}$
[/mm]
Nun kann man kürzen, (**) einsetzen und erhält
dann einen Näherungswert für [mm] \bruch{\Delta{r}}{r_0},
[/mm]
aus dem man dann auch eine prozentuale Änderung
des Radius ablesen kann.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 So 07.06.2009 | | Autor: | pandabaer |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 07.06.2009 | | Autor: | cracker |
Ah:)
ich bekomme eine Radiusänderung von 2,5% heraus, hoffe das stimmt jetzt.
Danke!
bei aufgabe b) beginne ich nun mit
[mm] V(\Delta{p}= C\cdot{}\Delta{p} [/mm]
wobei ich wieder als tangentengleichung
[mm] \Delta{V}\approx [/mm] m* [mm] \Delta{p} [/mm]
verwenden kann, mit m= [mm] V'(\Delta{p}= [/mm] C
stimmt das soweit?
aber wenn ich das einetzte, dann kommt ja für [mm] V_0 [/mm] und [mm] \Delta{V} [/mm] das selbe raus...d.h. dann, dass sich [mm] \Delta{p} [/mm] nicht verändern muss???
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> Ah:)
> ich bekomme eine Radiusänderung von 2,5% heraus, hoffe das
> stimmt jetzt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja, das ist richtig.
> bei aufgabe b) beginne ich nun mit
> [mm]V(\Delta{p})= C\cdot{}\Delta{p}[/mm]
> wobei ich wieder als tangentengleichung
> [mm]\Delta{V}\approx[/mm] m* [mm]\Delta{p}[/mm]
> verwenden kann, mit m= [mm]V'(\Delta{p})=[/mm] C
> stimmt das soweit?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
> aber wenn ich das einsetze, dann kommt ja für [mm]V_0[/mm] und
> [mm]\Delta{V}[/mm] das selbe raus...
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") [mm] V_0=\Delta{V} [/mm] ??
da hast du dich irgendwie geirrt ...
> d.h. dann, dass sich [mm]\Delta{p}[/mm]
> nicht verändern muss???
Was sich herausstellt, ist Folgendes:
Da V und [mm] \Delta{p} [/mm] zueinander proportional sind,
ist ihre relative oder prozentuale Änderung
identisch. Wenn sich also V um 10% ändern
soll, muss sich auch [mm] \Delta{p} [/mm] um 10% ändern. Um dies
einzusehen, ist ja nicht einmal Differential-
rechnung erforderlich !
Gruß Al-Chw.
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