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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lineare DG
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Lineare DG: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Aufgabe
Lösen sie das folgende Anfangswertproblem

t+x+[mm] \dot x [/mm]=0,      x(0)=0.

Hallo zusammen
bin mir bei dieser Aufgabe ziemlich unsicher ob ich da den richtigen/einfachsten Lösungsweg gewählt habe, wäre nett wenn sich jemand das mal durchlesen könnte.....
hab es so gemacht:

[mm] \dot x [/mm]=a(t)x + b(t)
[mm] \dot x [/mm]= -x-t
Stammfunktion zu a:
A(t)=-t      
dann mit der Lösungsformel:

[mm] x(t)=e^{A(t)}*[\integral_{t0}^{t}{b(u)e^{-A(t)} du}+e^{-A(t)}*x0] [/mm]

dann mit to=0 und x0=0

[mm] x(t)=e^{-t}*[\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}+e^{0}*0] [/mm]

         [mm] =e^{-t}*[\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du} [/mm]

dann die Partielle Integration benutzt:

[mm] \integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}=-u*e^{u}-\integral_{-1e^{u} du} [/mm]
                                                 [mm] =-u*e^{u}+*e^{u} [/mm]

dann eingesetzt in x:

[mm] x(t)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}) [/mm]
     [mm] =e^{-t}*-te^{t}+e^{-t}*e^{t} [/mm]
    [mm] =e^{-t}*-te^{t}+1 [/mm]
    [mm] =-te^{0}+1 [/mm]
    =-t+1

stimmt nicht oder?^^ geht das noch einfacher zu rechnen bzw. geht das überhaupt so und wo liegen meine Fehler???

Danke schon mal bis hierhin

Grüße
ROffel


        
Bezug
Lineare DG: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Do 09.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Roffel,

> Lösen sie das folgende Anfangswertproblem
>  
> t+x+[mm] \dot x [/mm]=0,      x(0)=0.
>  Hallo zusammen
>  bin mir bei dieser Aufgabe ziemlich unsicher ob ich da den
> richtigen/einfachsten Lösungsweg gewählt habe, wäre nett
> wenn sich jemand das mal durchlesen könnte.....
>   hab es so gemacht:
>  
> [mm]\dot x [/mm]=a(t)x + b(t)
>  [mm]\dot x [/mm]= -x-t
>  Stammfunktion zu a:
>  A(t)=-t      
> dann mit der Lösungsformel:
>  
> [mm]x(t)=e^{A(t)}*[\integral_{t0}^{t}{b(u)e^{-A(t)} du}+e^{-A(t)}*x0][/mm]
>  
> dann mit to=0 und x0=0
>  
> [mm]x(t)=e^{-t}*[\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}+e^{0}*0][/mm]
>  
> [mm]=e^{-t}*[\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}[/mm]
>  
> dann die Partielle Integration benutzt:
>  
> [mm]\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}=-u*e^{u}-\integral_{-1e^{u} du}[/mm]
>  
>                                                  
> [mm]=-u*e^{u}+*e^{u}[/mm]
>  
> dann eingesetzt in x:
>  
> [mm]x(t)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t})[/mm]


Hier muss doch stehen:

[mm]x(t)=e^{-t} \left( \ \left \left(-u*e^{u}+e^{u}\right)\right|_{0}^{t} \ \right)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}- \ ...)[/mm]


>      
> [mm]=e^{-t}*-te^{t}+e^{-t}*e^{t}[/mm]
>      [mm]=e^{-t}*-te^{t}+1[/mm]
>      [mm]=-te^{0}+1[/mm]
>      =-t+1
>
> stimmt nicht oder?^^ geht das noch einfacher zu rechnen
> bzw. geht das überhaupt so und wo liegen meine Fehler???
>  
> Danke schon mal bis hierhin
>  
> Grüße
>  ROffel

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Lineare DG: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Ah danke stimmt ja :)



>
> Hier muss doch stehen:
>  
> [mm]x(t)=e^{-t} \left( \ \left \left(-u*e^{u}+e^{u}\right)\right|_{0}^{t} \ \right)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}- \ ...)[/mm]
>  

--> [mm] e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}-(-0*e^{0}+e^{0}) [/mm]

    = [mm] e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}-1) [/mm]
    = [mm] -t+1-e^{-t} [/mm]  könnte das dann stimmen und das ergebnis dieser Aufgabe sein oder hab ich wieder irgendwo fehler eingebaut? :)




Bezug
                        
Bezug
Lineare DG: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Do 09.06.2011
Autor: fencheltee


> Ah danke stimmt ja :)
>  
>
>
> >
> > Hier muss doch stehen:
>  >  
> > [mm]x(t)=e^{-t} \left( \ \left \left(-u*e^{u}+e^{u}\right)\right|_{0}^{t} \ \right)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}- \ ...)[/mm]
>  
> >  

> --> [mm]e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}-(-0*e^{0}+e^{0})[/mm]
>  
> = [mm]e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}-1)[/mm]
>      = [mm]-t+1-e^{-t}[/mm]  könnte das
> dann stimmen und das ergebnis dieser Aufgabe sein oder hab
> ich wieder irgendwo fehler eingebaut? :)
>  
>
>  

[ok]
ne passt schon

gruß tee


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