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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lineare DGL mit Endwert
Lineare DGL mit Endwert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lineare DGL mit Endwert: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 So 12.04.2015
Autor: Laura22

Hallo :),
ich habe ein Endwertproblem gegeben, dass ich leider nicht lösen kann:
Für x [mm] \in [/mm] [0, K], K > 0 ist zu lösen
[mm] \dot{\phi}(x) [/mm] = [mm] \phi(x) [/mm] + f(x) mit [mm] \phi(K)=0. [/mm]

Die Lösung dazu lautet
[mm] \phi(x)= [/mm] - [mm] \integral_{x}^{K}{f(x)e^{x - y} dy}. [/mm]

Meine eigenen Ideen:
Es handelt sich um eine lineare (inhomogene) DGL erster Ordnung. D.h. ich würde jetzt mal
(1) die allgemeine Lösung der homogenen DGL bestimmen und dann
(2) eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten.

Zu (1): [mm] \dot{\phi}(x) [/mm] - [mm] \phi(x) [/mm] = 0.
Die allg. Lösung ist nach Trennung der Variablen gegeben durch
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] Ce^{x} [/mm] mit C [mm] \in \IR. [/mm]

Zu (2): Variation der Konstanten: [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] C(x)e^x \Rightarrow \dot{\phi(x)} [/mm] = [mm] \dot{C}(x)e^x [/mm] + [mm] C(x)e^x [/mm]

Das setzen wir in die inhomogene DGL ein und versuchen C(x) zu bestimmen.
[mm] \dot{C}(x) [/mm] = [mm] f(x)e^{-x} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] C(x) = [mm] \integral{f(x)e^{-x} dx} [/mm] + D, D [mm] \in \IR. [/mm]
Das C(x) können wir nun wieder einsetzen in die Gleichung für [mm] \phi: [/mm]
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] (\integral{f(x)e^{-x} dx} [/mm] + [mm] D)e^x. [/mm]
Da wir nur eine spezielle Lösung brauchen, wählen wir D, so dass gilt
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] (\integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^x. [/mm]
Damit ergibt sich für die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL

[mm] \phi(x) [/mm] = Lösung der allg. homogenen DGL + spezielle Lösung der
inhomogenen DGL
= [mm] Ce^x [/mm] + [mm] (\integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^x [/mm]
= (C+ [mm] \integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^x [/mm]

Nun suchen wir ja die Lösung zum Endwert [mm] \phi(K)=0, [/mm] d.h.
0 = (C+ [mm] \integral_{K}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^K [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] C = 0.
Damit ergibt sich als Lösung
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy}e^x [/mm] = [mm] \integral_{x}^{K}{f(y)e^{x-y} dy} [/mm]

Und nun verlassen sie mich... das sieht zwar so ähnlich aus wie das, was rauskommen soll, aber es fehlt einfach das Minuszeichen am Anfang...ich schätze mein Fehler liegt bei der Wahl von D, warum wüsste ich aber nicht.
Vielen Dank schonmal, falls sich jemand das hier antut!!!
Viele Grüße,
Laura

        
Bezug
Lineare DGL mit Endwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 So 12.04.2015
Autor: MathePower

Hallo Laura22,

> Hallo :),
>  ich habe ein Endwertproblem gegeben, dass ich leider nicht
> lösen kann:
>  Für x [mm]\in[/mm] [0, K], K > 0 ist zu lösen

>  [mm]\dot{\phi}(x)[/mm] = [mm]\phi(x)[/mm] + f(x) mit [mm]\phi(K)=0.[/mm]
>  
> Die Lösung dazu lautet
>  [mm]\phi(x)=[/mm] - [mm]\integral_{x}^{K}{f(x)e^{x - y} dy}.[/mm]
>  
> Meine eigenen Ideen:
>  Es handelt sich um eine lineare (inhomogene) DGL erster
> Ordnung. D.h. ich würde jetzt mal
>  (1) die allgemeine Lösung der homogenen DGL bestimmen und
> dann
>  (2) eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL durch
> Variation der Konstanten.
>  
> Zu (1): [mm]\dot{\phi}(x)[/mm] - [mm]\phi(x)[/mm] = 0.
>  Die allg. Lösung ist nach Trennung der Variablen gegeben
> durch
>  [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]Ce^{x}[/mm] mit C [mm]\in \IR.[/mm]
>  
> Zu (2): Variation der Konstanten: [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]C(x)e^x \Rightarrow \dot{\phi(x)}[/mm]
> = [mm]\dot{C}(x)e^x[/mm] + [mm]C(x)e^x[/mm]
>  
> Das setzen wir in die inhomogene DGL ein und versuchen C(x)
> zu bestimmen.
>  [mm]\dot{C}(x)[/mm] = [mm]f(x)e^{-x}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] C(x) = [mm]\integral{f(x)e^{-x} dx}[/mm] + D, D [mm]\in \IR.[/mm]
>  
> Das C(x) können wir nun wieder einsetzen in die Gleichung
> für [mm]\phi:[/mm]
>  [mm]\phi(x)[/mm] = [mm](\integral{f(x)e^{-x} dx}[/mm] + [mm]D)e^x.[/mm]
>  Da wir nur eine spezielle Lösung brauchen, wählen wir D,
> so dass gilt
>  [mm]\phi(x)[/mm] = [mm](\integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^x.[/mm]
>  Damit
> ergibt sich für die allgemeine Lösung der inhomogenen
> DGL
>  
> [mm]\phi(x)[/mm] = Lösung der allg. homogenen DGL + spezielle
> Lösung der
> inhomogenen DGL
>  = [mm]Ce^x[/mm] + [mm](\integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^x[/mm]
>  = (C+
> [mm]\integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^x[/mm]
>  
> Nun suchen wir ja die Lösung zum Endwert [mm]\phi(K)=0,[/mm] d.h.
>  0 = (C+ [mm]\integral_{K}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^K[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> C = 0.
>  Damit ergibt sich als Lösung
>  [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy}e^x[/mm] =
> [mm]\integral_{x}^{K}{f(y)e^{x-y} dy}[/mm]
>  
> Und nun verlassen sie mich... das sieht zwar so ähnlich
> aus wie das, was rauskommen soll, aber es fehlt einfach das
> Minuszeichen am Anfang...ich schätze mein Fehler liegt bei
> der Wahl von D, warum wüsste ich aber nicht.


Setze doch mal Deine erhaltene Lösung in die gegebene DGL ein.
Dann wirst Du feststellen, das diese Lösung die DGL nicht löst,
sondern  die mit -1 multiplizierte Lösung.

FÜr das Ableiten eines Parameterintegrals, siehe []hier.


>  Vielen Dank schonmal, falls sich jemand das hier antut!!!
>  Viele Grüße,
>  Laura


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lineare DGL mit Endwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 So 12.04.2015
Autor: Laura22

Danke, das war genau das, was ich hier versucht habe zu erklären (nachgerechnet, dass das nicht stimmt, habe ich bereits) :)

"Und nun verlassen sie mich... das sieht zwar so ähnlich

> aus wie das, was rauskommen soll, aber es fehlt einfach das
> Minuszeichen am Anfang...ich schätze mein Fehler liegt bei
> der Wahl von D, warum wüsste ich aber nicht."

Hast du einen Vorschlag, wo mein Fehler liegt und wie man auf die richtige Lösung kommt?


Bezug
                        
Bezug
Lineare DGL mit Endwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 So 12.04.2015
Autor: MathePower

Hallo Laura22,

> Danke, das war genau das, was ich hier versucht habe zu
> erklären (nachgerechnet, dass das nicht stimmt, habe ich
> bereits) :)
>  
> "Und nun verlassen sie mich... das sieht zwar so ähnlich
>  > aus wie das, was rauskommen soll, aber es fehlt einfach

> das
>  > Minuszeichen am Anfang...ich schätze mein Fehler liegt

> bei
>  > der Wahl von D, warum wüsste ich aber nicht."

>  
> Hast du einen Vorschlag, wo mein Fehler liegt und wie man
> auf die richtige Lösung kommt?
>  


Die partikuläre Lösung einer inhomogenen DGL
ist von der Gestalt:

[mm]\integral_{x_{0}}^{x}{f\left(y\right)*e^{-y} \ dy}*e^{x}[/mm]

Das ist der Tenor, wenn es sich um ein AWP ([mm]x_{0} < x[/mm])handelt.

Übertragen auf das Endwertproblem heißt das,
zunächst [mm]K=x_{0} > x[/mm], dann ergibt sich
folgende Formel:

[mm]\integral_{x_{0}}^{x}{f\left(y\right)*e^{-y} \ dy}*e^{x}=\blue{-}\integral_{x}}^{x_{0}}{f\left(y\right)*e^{-y} \ dy}*e^{x}[/mm]

Oder noch einfacher:

Bei der Ermittlung der partikulären Lösung dieser DGL,
erhält man  doch:

[mm]C'=f\left(x\right)*e^{-x}[/mm]

Auf beiden Seiten integriert von x bis K ergibt:

[mm]\integral_{x}^{K}{C' \ dy}=\integral_{x}^{K}{f\left(y\right)*e^{-y} \ dy}[/mm]

Gruss
MathePower

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Lineare DGL mit Endwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 So 12.04.2015
Autor: Laura22

Ok, dank dir. Nur wie schreibe ich das nun korrekt auf?

Da bestimmt man ja zunächst eine Gestalt für C(x). Wählt man dann einfach D, so dass
C(x) = [mm] \integral_{K}^{x} [/mm] f(y)e^-y dy?

Bezug
                                        
Bezug
Lineare DGL mit Endwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 So 12.04.2015
Autor: MathePower

Hallo Laura22,


> Ok, dank dir. Nur wie schreibe ich das nun korrekt auf?
>  
> Da bestimmt man ja zunächst eine Gestalt für C(x). Wählt
> man dann einfach D, so dass
> C(x) = [mm]\integral_{K}^{x}[/mm] f(y)e^-y dy?


Nein, das D bzw. C(K) wird aus dem Endwert bestimmt.


Gruss
MathePower

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Bezug
Lineare DGL mit Endwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 So 12.04.2015
Autor: Laura22

Gut, dann versuche ich es nochmal!
Für die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL gilt:
[mm] \phi(x) [/mm] = allgemeine Lösung der homogenen DGL + Eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL.
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL haben wir ja bereits bestimmt. Diese lautet [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] Ce^x, [/mm] C [mm] \in \IR. [/mm]
Nun wollen wir eine einzige partikuläre Lösung der inhomogenen DGL per Variation der Konstanten bestimmen.
Stimmt doch soweit, oder?

Nun bestimme ich dazu das C(x), um es in den Ansatz [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] C(x)e^x [/mm] einzusetzen:
[mm] \dot{C}(x) [/mm] = [mm] f(x)e^{-x} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \integral_{K}^{x} \dot{C}(y) [/mm] dy = [mm] \integral_{K}^{x}f(y)e^{-y} [/mm] dy
[mm] \Leftrightarrow [/mm] C(x) = [mm] \integral_{K}^{x}f(y)e^{-y} [/mm] dy + C(K)

Das C(x) können wir nun wieder einsetzen in die Gleichung für [mm] \phi: [/mm]
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] (\integral_{K}^{x}f(y)e^{-y} [/mm] dy + [mm] C(K))e^x. [/mm]
Wegen [mm] \phi(K)=0 [/mm] erhalten wir C(K)=0.
d.h. die einzelne partikuläre Lösung der inhomogenen DGL lautet somit
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] (\integral_{K}^{x}f(y)e^{-y} dy)e^x. [/mm]

Wäre das schonmal korrekt?

Damit ergibt sich für die [mm] \underline{allgemeine} [/mm] Lösung der inhomogenen DGL
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] Ce^x [/mm] + [mm] (\integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^x [/mm]

Muss man jetzt nochmal die Endbedingung benutzen, um das verbliebene C zu eliminieren?

Bezug
                                                        
Bezug
Lineare DGL mit Endwert: Doch fertig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 12.04.2015
Autor: Laura22

Ach nein bin ich doof. Bei der partikulären Lösung bin ich doch fertig!!! Ich will doch gerade eine Trajektorie, die durch den Endwert [mm] \phi(x) [/mm] = K durchgeht.
Entschuldige bitte und danke für deine Geduld!!!

Bezug
                                                        
Bezug
Lineare DGL mit Endwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 12.04.2015
Autor: MathePower

Hallo Laura22,

> Gut, dann versuche ich es nochmal!
>  Für die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL gilt:
>  [mm]\phi(x)[/mm] = allgemeine Lösung der homogenen DGL + Eine
> spezielle Lösung der inhomogenen DGL.
>  Die allgemeine Lösung der homogenen DGL haben wir ja
> bereits bestimmt. Diese lautet [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]Ce^x,[/mm] C [mm]\in \IR.[/mm]
>  
> Nun wollen wir eine einzige partikuläre Lösung der
> inhomogenen DGL per Variation der Konstanten bestimmen.
>  Stimmt doch soweit, oder?
>  
> Nun bestimme ich dazu das C(x), um es in den Ansatz [mm]\phi(x)[/mm]
> = [mm]C(x)e^x[/mm] einzusetzen:
>  [mm]\dot{C}(x)[/mm] = [mm]f(x)e^{-x}[/mm]
>  [mm]\Leftrightarrow \integral_{K}^{x} \dot{C}(y)[/mm] dy =
> [mm]\integral_{K}^{x}f(y)e^{-y}[/mm] dy
>  [mm]\Leftrightarrow[/mm] C(x) = [mm]\integral_{K}^{x}f(y)e^{-y}[/mm] dy +
> C(K)
>  
> Das C(x) können wir nun wieder einsetzen in die Gleichung
> für [mm]\phi:[/mm]
>  [mm]\phi(x)[/mm] = [mm](\integral_{K}^{x}f(y)e^{-y}[/mm] dy + [mm]C(K))e^x.[/mm]
>  Wegen [mm]\phi(K)=0[/mm] erhalten wir C(K)=0.
>  d.h. die einzelne partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
> lautet somit
>  [mm]\phi(x)[/mm] = [mm](\integral_{K}^{x}f(y)e^{-y} dy)e^x.[/mm]
>  
> Wäre das schonmal korrekt?
>  
> Damit ergibt sich für die [mm]\underline{allgemeine}[/mm] Lösung
> der inhomogenen DGL
>  [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]Ce^x[/mm] + [mm](\integral_{x}^{K}{f(y)e^{-y} dy})e^x[/mm]
>  
> Muss man jetzt nochmal die Endbedingung benutzen, um das
> verbliebene C zu eliminieren?


Nein, das hast Du doch schon weiter oben gemacht.


Gruss
MathePower

Bezug
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