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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Di 01.07.2008 | | Autor: | Serbetli |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lösen Sie die DGl
y = x(1-x) * y' + [mm] x^{2} [/mm] + 1 |
Also wir haben eine Lösungsformel für solche Gleichungen indem wir zuerst die homogene Gleichung lösen, dann annehmen, dass c variabel ist und dann c(x) ermitteln.
Die Formel dafür ist [mm] y_{p}(x) [/mm] = [mm] \integral \bruch{s(x)}{e^{F(x) + c}} [/mm] * [mm] e^{F(x)}.
[/mm]
Allerdings hab ich keine Ahnung, wie man das Integral [mm] \integral \bruch{x^{2} + 1}{e^{\bruch{1}{2}x^{2} - \bruch{1}{3}x^{3}}}lösen [/mm] soll... Ist es überhaupt nötig, mit dieser Formel zu arbeiten oder gibts auch einen eleganten Weg drumherum der ohen das Integral auskommt?
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Hallo,
[mm] $y'(-x^2+x)=y-x^2-1$
[/mm]
Zuerst löst Du die homogene DGL:
[mm] $y'(-x^2+x)=y$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{y}\;dy=-\integral\bruch{1}{x^2-x}\;dx$
[/mm]
[mm] $ln|y|=-ln\left|\bruch{x-1}{x}\right|+ln|C|$
[/mm]
[mm] $y_H=C*\bruch{x}{x-1}$
[/mm]
Weiter dann mit Variation der Konstanten
[mm] $y=C(x)*\bruch{x}{x-1}$
[/mm]
Einmal ableiten, dann in die inhomogene DGL einsetzen, C'(x) integrieren, einsetzen in [mm] $y=C(x)*\bruch{x}{x-1}$ [/mm] und dann müsste die Lösung da stehen.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Di 01.07.2008 | | Autor: | Serbetli |
Also erstmal danke für die Antwort, kannst du mir sagen, wie man auf das Integral [mm] \integral \bruch{1}{x^{2}-x} [/mm] kommt? Ich hab das versucht partiell abzuleiten, bin aber dabei auf nichts gekommen, was mir weiterhilft :o(
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Hallo,
> Also erstmal danke für die Antwort, kannst du mir sagen,
> wie man auf das Integral [mm]\integral \bruch{1}{x^{2}-x}[/mm]
> kommt? Ich hab das versucht partiell abzuleiten, bin aber
> dabei auf nichts gekommen, was mir weiterhilft :o(
Wieso partiell ableiten? Es handelt sich doch nur um eine Variable. Und meinst Du nicht: integrieren? Wahrscheinlich: Integration durch Partialbruchzerlegung.
[mm]\integral \bruch{1}{x^{2}-x}[/mm]
habe ich mit Hilfe einer Formelsammlung schnell hingeschrieben.
Man kann es aber mit einer Partialbruchzerlegung integrieren:
[mm]\bruch{1}{x^{2}-x}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}[/mm]
$1=A*(x-1)+B*x=(A+B)*x-A$
A=-1 und B=1
[mm]\integral \bruch{1}{x^{2}-x}\;dx=\integral \left(\bruch{-1}{x}+\bruch{1}{x-1}\right) \;dx[/mm]
[mm]\integral \bruch{1}{x^{2}-x}\;dx=-ln|x|+ln|x-1|=ln\left|\bruch{x-1}{x} \right|[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Di 01.07.2008 | | Autor: | Serbetli |
Ah ok... ein typischer Fall von "den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen"....
Danke 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 01.07.2008 | | Autor: | Serbetli |
Hallo, sag mal kann das sein, dass du einen Vorzeichenfehler in deiner Antwort gemacht hast?
Also die ursprüngliche Gleichung sieht so aus:
$ y = x(1-x) [mm] \cdot [/mm] y' + [mm] x^{2} [/mm] + 1 $ und das würde ich umformen zu
$ y - [mm] x^{2} [/mm] - 1 = [mm] \red{(x^{2}-x)} \cdot [/mm] y' $ und nicht zu
$ y - [mm] x^{2} [/mm] - 1 = [mm] \red{(-x^{2}+x)} \cdot [/mm] y' $ oder ist das egal? Oder hab ich hier einen Fehler gemacht?
Wenn ich damit weiterrechne, komme ich auf $ [mm] y_{s} [/mm] = - [mm] \integral \bruch{x^{2}+1}{x^{2}(1-x)^{2}}dx \cdot [/mm] x(1-x) $ , komme hier aber nicht weiter, weil ich das Integral nicht lösen kann.
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Hallo Serbetli,
> Hallo, sag mal kann das sein, dass du einen
> Vorzeichenfehler in deiner Antwort gemacht hast?
> Also die ursprüngliche Gleichung sieht so aus:
> [mm]y = x(1-x)* y' + x^{2} + 1[/mm] und das würde ich umformen
> zu
> [mm]y - x^{2} - 1 = \red{(x^{2}-x)} \cdot y'[/mm] und nicht zu
> [mm]y - x^{2} - 1 = \red{(-x^{2}+x)} \cdot y'[/mm] oder ist das
> egal?
Egal ist das nicht. Wenn beim Intergrieren ein Logarithmus heraus kommt und ein Vorzeichen falsch ist, bedeutet das den Kehrbruch anstatt des richtigen Bruches.
Multipliziere doch einfach einmal das x mit der Klammer aus:
[mm]y = x(1-x)* y' + x^{2} + 1[/mm]
>Oder hab ich hier einen Fehler gemacht?
Ja, das hast Du wohl. Ich neige zwar auch zu Vorzeichenfehlern aber diesesmal stimmt's bei mir.
> Wenn ich damit weiterrechne, komme ich auf [mm]y_{s} = - \integral \bruch{x^{2}+1}{x^{2}(1-x)^{2}}dx \cdot x(1-x)[/mm]
> , komme hier aber nicht weiter, weil ich das Integral nicht
> lösen kann.
Ich kann das Integral nicht nachvollziehen. Ein Rechenweg würde wohl helfen.
LG, Martinius
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