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Forum "Differentialgleichungen" - Lineare Dgl, wo ist der Fehler
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Lineare Dgl, wo ist der Fehler: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Do 18.11.2010
Autor: Sutoppu

Aufgabe
Löse: [mm] \bruch{dv}{dt}= 1-(1+K)v [/mm]

Hallo ihr lieben,

ich muss diese Dgl lösen, ich weiss das Ergebnis, aber irgendwie klappt es nicht. Ich dachte ich schreib einfach mal, was ich gemacht, vllt sieht ja einer den Fehler.

erstmal: lösen des homogenen Problems
[mm] v' = -(1+K)v [/mm]

ergibt
[mm] v = c*exp[-(1+K)x] [/mm]

Vdk:
[mm] v' = c'(x)*exp[-(1+K)x] - (1+K)*c(x)*exp[-(1+K)x] [/mm]

einsetzen in die Dgl:

[mm] c'(x)*exp[-(1+K)*x] - (1+K)*c(x)*exp[-(1+K)*x] = 1-(1+K)*c(x)*exp[-(1+K)x] [/mm]

[mm] => c'(x)*exp[-(1+K)x] = 1 [/mm]
[mm] => c'(x) = exp[(1+K)x] [/mm]
[mm] => c(x) = \bruch{1}{1+K}*exp[(1+K)x] [/mm]

einsetzen in die Dgl:

[mm] v = (\bruch{1}{1+K}*exp[(1+K)x])*exp[-(1+K)x] [/mm]
[mm] => v= \bruch{1}{1+K} [/mm]

das Ergebnis soll aber:
[mm] v= \bruch{1}{1+K}*(1-exp[-(1+K)x] ) [/mm] sein.

Ich hoffe jemand kann mir helfen!

Lg

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Lineare Dgl, wo ist der Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Do 18.11.2010
Autor: leduart

Hallo
dein Fehler: du hast beim integrieren von c'(x) die integrationskonstante weggelassen. ausserdem gibt es wohl noch anfangsbed. mit denen die dann bestimmt wird.
(hier war mit dem ansatz v=const, v'=0 für die inhomogene schneller zu finden, dass das mit v=1/(1+k) gelöst wird schneller)
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Lineare Dgl, wo ist der Fehler: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Do 18.11.2010
Autor: Sutoppu

Hallo,

erstmal danke :)

es klappt nur leider immernoch nicht ganz. Wenn ich die Integratonskonstante dazu nehme habe ich:

[mm] \bruch{1}{1+K}*exp[(1+K)x] + c [/mm]

das eingesetzt in die Dgl:

[mm]v= ( \bruch{1}{1+K}*exp[(1+K)x] + c)(exp[-(1+K)x) [/mm]
[mm]v= \bruch{1}{1+K} +c*exp[(1+K)x] [/mm]

ist leider noch nicht ganz das was ich wollte :(

Bezug
                        
Bezug
Lineare Dgl, wo ist der Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Do 18.11.2010
Autor: leduart

Hallo
in der vorgegebenen lösung ist kein c mehr, also ist es nicht die allgemeine lösung, sndern die zu einer Anfangsbedingung, die musst du noch einsetzen und c bestimmen.(hatte ich aber schon gesagt!)
Gruss leduart



Bezug
                                
Bezug
Lineare Dgl, wo ist der Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Do 18.11.2010
Autor: Sutoppu

Ach herje, jetzt hab ich's gesehen, vielen lieben Dank :)

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