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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Do 03.09.2009 | | Autor: | muesmues |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende lineare Diferantialgleichung:
X´= [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm] |
Wie mach ich das?
Mein Prof war in der letzten Woche ein wenig hecktisch und verwirrt. ich konnte ihm auf gut deutsch null folgen...
Würde mich über eure hilfe riesig freuen!
dankeschön!
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Hallo muesmues,
> Lösen Sie folgende lineare Diferantialgleichung:
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> X´= [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]
Das muss doch hier so lauten:
[mm]X'= \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }*X[/mm]
> Wie mach ich das?
Der einfachste Weg ist das DGL-System komponentenweise hinzuschreiben.
[mm]X'= \pmat{x_{1}' \\ x_{2}'}=\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }*\pmat{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
Durch geschicke Manipulation führt das auf einen DGL 2. Ordnung.
Hierbei verwendest Du das ![[]](/images/popup.gif) Einsetzungsverfahren.
> Mein Prof war in der letzten Woche ein wenig hecktisch und
> verwirrt. ich konnte ihm auf gut deutsch null folgen...
>
> Würde mich über eure hilfe riesig freuen!
>
> dankeschön!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 04.09.2009 | | Autor: | muesmues |
ich habe folgende lösung von meinem übungsleiter bekommen...ich verstehs nur net so ganz:
$A= [mm] \pmat{ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} } \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }$
[/mm]
[mm] $e^{tA} [/mm] = [mm] \pmat{ \frac{1}{2} e^{-t}+ \frac{1}{2} e^t & \frac{1}{2} e^{-t} - \frac{1}{2} e^t \\ \frac{1}{2} e^{-t}- \frac{1}{2} e^t & \frac{1}{2} e^{-t}+ \frac{1}{2} e^t }$
[/mm]
$x(t) = [mm] e^{tA} [/mm] x(0)$
Bei A ist ja die mittlere Matrix die Matrix mit den Eigenwerten. Links steht die Matrix mit der normierten Eigenvektoren oder? und rechts die inverse davon?
danke für die hilfe...
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Hallo muesmues,
> ich habe folgende lösung von meinem übungsleiter
> bekommen...ich verstehs nur net so ganz:
>
> [mm]A= \pmat{ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} } \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> [mm]e^{tA} = \pmat{ \frac{1}{2} e^{-t}+ \frac{1}{2} e^t & \frac{1}{2} e^{-t} - \frac{1}{2} e^t \\ \frac{1}{2} e^{-t}- \frac{1}{2} e^t & \frac{1}{2} e^{-t}+ \frac{1}{2} e^t }[/mm]
>
> [mm]x(t) = e^{tA} x(0)[/mm]
>
> Bei A ist ja die mittlere Matrix die Matrix mit den
> Eigenwerten. Links steht die Matrix mit der normierten
> Eigenvektoren oder? und rechts die inverse davon?
Das stimmt nicht ganz.
Rechts steht die Matrix mit den unnormierten Eigenvektoren.
Und Links die Inverse.
Du kannst die Eigenvektoren normieren, dann hast Du links
und rechts dieselbe Matrix stehen.
>
> danke für die hilfe...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Fr 04.09.2009 | | Autor: | muesmues |
heißt dass ich die EV und EW ausrechnen muss`? geht das immer?
wie komm ich auch das e^(tA) ?
ist das dann die entgültige lösung?
gruß
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Hallo muesmues,
> heißt dass ich die EV und EW ausrechnen muss'? geht das
> immer?
Ja, die Eigenwerte und die Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
kannst Du immer ausrechnen.
>
> wie komm ich auch das e^(tA) ?
Verwende die Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
[mm]e^{t*A}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\left(t*A\right)^{k}}{k!}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*A^{k}[/mm]
Berechne hier sämtliche Potenzen der Matrix A.
>
> ist das dann die entgültige lösung?
Fast, vorhergehendes Ergebnis wird noch mit der Anfangsbedingung multipliziert.
>
> gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 11.09.2009 | | Autor: | muesmues |
Kannst du mir das mit der Reihendarstellung mal vorrechnen? WIr haben in LA leider keinen guten Prof und ich kann so was gar nicht.
wäre voll super! Ich muss das unbedingt in zwei wochen können... hilfe!!!
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Hallo muesmues,
> Kannst du mir das mit der Reihendarstellung mal vorrechnen?
> WIr haben in LA leider keinen guten Prof und ich kann so
> was gar nicht.
>
> wäre voll super! Ich muss das unbedingt in zwei wochen
> können... hilfe!!!
Nun berechne sämtliche Potenzen der Matrix A:
[mm]A^{0}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
[mm]A^{1}=A=\pmat{0 & -1 \\ -1 & 0}[/mm]
[mm]A^{2}=A=\pmat{0 & -1 \\ -1 & 0}*\pmat{0 & -1 \\ -1 & 0}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}=A^{0}[/mm]
Dann ergibt sich hier:
[mm]e^{tA}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\left(t*A\right)^{k}}{k!}=\summe_{l=0}^{\infty}E*\bruch{\left(t\right)^{2l}}{\left(2l\right)!}+A*\bruch{\left(t\right)^{2l+1}}{\left(2l+1\right)!}[/mm]
Und da
[mm]\operatorname{sinh}\left(t\right):=\summe_{l=0}^{\infty}\bruch{\left(t\right)^{2l+1}}{\left(2l+1\right)!}=\bruch{e^{t}-e^{-t}}{2}[/mm]
[mm]\operatorname{cosh}\left(t\right):=\summe_{l=0}^{\infty}\bruch{\left(t\right)^{2l}}{\left(2l\right)!}=\bruch{e^{t}+e^{-t}}{2}[/mm]
ist
[mm]e^{tA}=E*\bruch{e^{t}+e^{-t}}{2}+A*\bruch{e^{t}-e^{-t}}{2}[/mm]
[mm]=\bruch{E+A}{2}*e^{t}+\bruch{E-A}{2}*e^{-t}[/mm]
Gruss
MathePower
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