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| Aufgabe | In einem rechtwinkligen Dreieck wurden der Winkel [mm] \alpha [/mm] und die Hypotenuse c wie folgt gemessen:
[mm] \alpha=(32\pm0,5) [/mm] °
[mm] c=(8\pm0,2)cm
[/mm]
Welches Messergebnis erhält man daraus für die Gegenkathete a? |
Hallo,
eigentlich gar nicht so schwer aber ich komme irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis:
[mm] a=c*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] \bar a=f(\bar \alpha;\bar c)=\bar c*sin(\bar \alpha)
[/mm]
Also:
[mm] \bar{a}=4,24
[/mm]
Um die maximale Messunsicherheit zu berechnen wird das totale Differential gebildet:
[mm] \Delta z_{max}=\left|f_x(\bar{x};\bar{y})*\Delta x\right|+\left|f_y(\bar{x};\bar{y})*\Delta y\right|
[/mm]
Partiell ableiten:
[mm] f_{\bar\alpha}=cos(\bar\alpha)*\bar{c}
[/mm]
[mm] f_{\bar{c}}=sin(\bar\alpha)
[/mm]
So komme ich auf:
[mm] \Delta a_{max}=\left|sin(\bar\alpha)*\Delta c\right|+\left|cos(\bar\alpha)*\bar{c}*\Delta\alpha\right|
[/mm]
Im Lösungsbuch steht nun als Ergebnis:
[mm] \Delta a_{max}=0,165cm
[/mm]
Wenn ich einsetze komme ich aber auf folgendes:
[mm] \Delta a_{max}=\left|sin(\bar\alpha)*\Delta c\right|+\left|cos(\bar\alpha)*\bar{c}*\Delta\alpha\right|=\left|sin(32°)*0,2\right|+\left|cos(32°)*8*0,5\right|=3,45
[/mm]
Was habe ich falsch eingesetzt oder falsch gemacht?
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Hallo!
Das ist ein ganz typischer Anfängerfehler:
Das Gradmaß ist eine vom Menschen gemachte Einheit. Sie taugt nur eingeschränkt zum Rechnen, z.B. um den dritten Winkel bei zwei bekannten im Dreieck zu bestimmen. Auch für trigonometrische Funktionen kann man sie häufig nutzen. Aber sobald die Winkel in Formeln auch außerhalb der trig. Funktionen vorkommen, oder dort eine Bedeutung haben, klappt das nicht mehr. Dann mußt du zwingend vom Gradmaß ins Bogenmaß (Vollkreis = [mm] 2\pi [/mm] ) wechseln.
Mal anschaulich:
Wie groß ist die Steigung von sin(x) für x=0? Naja, ganz einfach: sin'=cos, und daher cos(0)=1
Schaun wir uns das mal an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Tangente geht durch den Ursprung und etwa durch (90|1,5) und hat daher etwa die Steigung 0,017, also alles andere als 1.
Betrachtet man x aber im Bogenmaß (obere x-Achse), dann passt es: Die Tangente geht durch [mm] $(\pi|\pi)$, [/mm] die Steigung ist 1.
Noch ein Tipp zur Fehlerrechnung: Rechne die einzelnen Beträge mal aus. An deren Größe kannst du erkennen, welcher Fehler den Gesamtfehler am stärksten beeinflusst, und bei Zweifeln möglicherweise selbst fehlerhaft berechnet wurde (öhm, ich hoffe, du verstehst...)
Hier ist es der rechte Betrag, der wegen [mm] \Delta\alpha=0,5 [/mm] zu einem exorbitant hohen Fehler führt. Der wahre Wert ist um den Faktor [mm] \frac{\pi}{180}\approx0,0175 [/mm] kleiner.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Do 16.06.2016 | | Autor: | sonic5000 |
Danke... Das ist interessant... Da wäre ich nie draufgekommen...
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