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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mousegg |
Seien a,b,c € R. Gegeben seien folgende Vektoren [mm] R^3 [/mm] beziehungsweise [mm] R^4.
[/mm]
v1=(1,2,1) ,v2=(3,-1,1), v3=(2,1,1),v4=(-2,-1,-2),v5=(1,1,1)
w1=(3,6,5,4), w2=(3,a,b,c),w3=(4,1,0,1),w4=(0,3,2,1),w5=(1,1,1,1)
Man bestimme in Abhängigkeit von a,b,c ob es eine lineare Abbildung [mm] f:R^3 \to R^4 [/mm] gibt mit f(vi)=wi i€(1,...,5)
Der Tipp den wir bekamen ist das ganze mit Hilfe der linearen Forsetzung zu lösen die beagt ,dass jede Abbildung F: V [mm] \to [/mm] W mit b€B einer Basis von V und [mm] w_{b} [/mm] € W für alle b linear ist wenn gilt [mm] f(b)=w_{b} [/mm]
Ist mit [mm] w_{b} [/mm] hier die Koordinatenspalte von w unter B gemeint , wenn ja wie kann ich sie bestimmen die Basis von [mm] R^3 [/mm] kann doch niemals einen Vektor aus [mm] R^4 [/mm] erzeugen?
Da ich die Definition noch nicht ganz durchschaut habe hab ich einen eigenen Ansatz versucht.
Wenn es eine lineare Abbildung gibt wie oben beschrieben dann muss es eine Matrix A geben sodass A* [mm] v_{i} =w_{i} [/mm]
dabei müsste A eine [mm] 4\times3 [/mm] MAtrix sein
Wenn ich also zeigen kann dass diese Matrix existiert ist f eine lineare Abbildung stimmt dass so ?
Hab dann aus [mm] A*v_{i} =w_{i} [/mm] aber 5 [mm] 3\times3 [/mm] Matrizen die jeweils die Spalten der Matrix A ergeben sollten was dann eine [mm] 5\times3 [/mm] Matrix ergäbe.
Kann mir veilleicht irgendjemand weiterhelfen ?
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> Seien a,b,c € R. Gegeben seien folgende Vektoren [mm]R^3[/mm]
> beziehungsweise [mm]R^4.[/mm]
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> v1=(1,2,1) ,v2=(3,-1,1),
> v3=(2,1,1),v4=(-2,-1,-2),v5=(1,1,1)
>
> w1=(3,6,5,4),
> w2=(3,a,b,c),w3=(4,1,0,1),w4=(0,3,2,1),w5=(1,1,1,1)
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> Man bestimme in Abhängigkeit von a,b,c ob es eine lineare
> Abbildung [mm]f:R^3 \to R^4[/mm] gibt mit f(vi)=wi i€(1,...,5)
Hallo,
lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Es ist [mm] B:=(v_3, v_4, v_5) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Durch [mm] f(v_i)=w_i [/mm] , i=4,5,6 ist also die Abbildung f eindeutig bestimmt.
Da B eine Basis ist, kannst Du [mm] v_1 [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren schreiben, also [mm] v_1=a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5.
[/mm]
Prüfen mußt Du nun, ob [mm] f(v_1)=w_1 [/mm] richtig ist, ob als [mm] w_1=f(a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5)= [/mm] ... (Linearität verwenden.)
Sehr ähnlich stellst Du dann fest, wie die a,b,c im Vektor [mm] w_2 [/mm] beschaffen sein müssen, damit [mm] f(v_2)=w_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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