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Guten Abend an alle.
Ich habe hier zwei Aufgaben, bei denen ich nicht weiß, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Könnt ihr mir da helfen?
"Der Graph einer linearen Funktion geht durch die Punkte P und Q ( hier werden keine genauen Punkte genannt, da es mir nur um das Prinzip geht ! ). Bestimme den Term einer proportionalen Funktion, deren Graph parallel zu dem Graphen ist."
Zunächst würde ich hier versuchen, die Funktionsvorschrift für die lineare Funktion heraus zu bekommen.
Dafür würde ich mit Hilfe der Koordinaten der zwei Punkte die Steigung m ausrechnen mit der Formel: [mm] \bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}- x_{1}}
[/mm]
Die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion lautet ja y = m*x + b.
Nach der Berechnung der Steigung könnte ich die Koordinaten eines Punktes nehmen, den y und den x wert einsetzen und durch das einsetzen von m den Wert für b einfach ausrechnen.
Dann hätte ich meine Funktionsvorschrift für die lineare Funktion.
Ist das bis hierher richtig? Oder wo liegen Fehler?
Eine proportionale Funktion ist doch eine Gerade durch den Koordinatenursprung, oder?
D.h. ich müsste eigentlich nur nach dem y- Achsenabschnitt der linearen Funktion schauen und diesen auf "0" bringen?
Hier bin ich ziemlich ratlos....
Vielen DANK!!!!
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"Nach der Berechnung der Steigung könnte ich die Koordinaten eines Punktes nehmen, den y und den x wert einsetzen und durch das einsetzen von m den Wert für b einfach ausrechnen.
Dann hätte ich meine Funktionsvorschrift für die lineare Funktion.
Ist das bis hierher richtig? Oder wo liegen Fehler?"
Ja genau richtig!
"Eine proportionale Funktion ist doch eine Gerade durch den Koordinatenursprung, oder?"
Ja.
"D.h. ich müsste eigentlich nur nach dem y- Achsenabschnitt der linearen Funktion schauen und diesen auf "0" bringen?"
Nicht ganz, aber fast.
Du sollst also die proportionale Funktion bestimmen, die parallel zu der Funktion verläuft, die du zuvor ermittelt hast. Nennen wir diese mal [mm] f_{1} [/mm] und die die du suchst [mm] f_{2}
[/mm]
[mm] f_{2} [/mm] hat also folgende zwei Eigenschaften:
1) [mm] f_{2} [/mm] || [mm] f_{1} [/mm] (beide Funktionen sind parallel zueinander)
2) [mm] f_{2} [/mm] verläuft durch den Ursprung.
zuerstmal zu Eigenschaft 1:
da beide Geraden (Graphen der Funktionen) parallel sein sollen, haben beide Funktionen die gleiche Steigung (m)
wenn also [mm] f_{1}=m_{1}*x+b_{1}, [/mm] dann weisst du für [mm] f_{2} [/mm] schonmal
[mm] f_{2}=m_{1}*x+b_{2}
[/mm]
unbekannt ist noch [mm] b_{2}.
[/mm]
Das erhält man aus der Information aus Eigenschaft 2:
[mm] f_{2} [/mm] soll durch den Ursprung verlaufen.
Der Ursprung hat die Koordinaten (x,y)=(0,0)
Dass [mm] f_{2} [/mm] durch diesen punkt (0,0) verläuft, bedeutet, dass [mm] f_{2}(0)=0 [/mm] gelten muss (setzt du für x 0 ein, muss für y 0 rauskommen).
Du kannst also wie vorher x und y einsetzen und dein [mm] b_{2} [/mm] ermitteln.
[mm] b_{2} [/mm] wird diesmal 0 sein.
Das ist nicht überraschend, denn betrachtest du die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion
y=m*x+b stellst du fest, dass wenn du für x 0 einsetzt, die Steigung unwichtig wird denn m*0=0.
Das bedeutet, der y-Wert den du für x=0 herausbekommst hängt nur von b ab und der Punkt (0,y) befindet sich auf der y-Achse!!!
Schlussfolgerung daraus:
mit b=0 geht die Funktionsgerade durch den Punkt (0,0)
mit b=1 geht die Funktionsgerade durch den Punkt (0,1)
mit b=2 geht die Funktionsgerade durch den Punkt (0,2)
...
usw.
der b-Wert bestimmt also die vertikale Verschiebung der Geraden!
Wenn du also das nächste mal eine lineare Funktion durch den Ursprung suchst, dann kannst du schon direkt von
y=m*x ausgehen, statt y=m*x+b
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Di 29.09.2009 | | Autor: | rotespinne |
Vielen vielen vielen Dank!
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