Lineare GLS aufstellen/lösen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems aus [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 [/mm] und [mm] x_{4}=1 [/mm] für die vier Unbekannten [mm] x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] und [mm] x_{4}. [/mm] Geben Sie die Lösung in Vektorschreibweise an. Geben Sie den Kern der Abbildung an. |
Hallo zusammen, obige Aufgabe will gelöst werden.
Leider habe keinen Ansatz, bzw das [mm] x_{4} [/mm] verwirrt mich, da es 1 ist, aber auch eine Unbekannte. Vermutlich sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Wer kann mir mit einem Ansatz helfen? Danke!
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Hallo Ciotic,
> Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems
> aus [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=3[/mm] und [mm]x_{4}=1[/mm] für die vier
> Unbekannten [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] und [mm]x_{4}.[/mm] Geben Sie die
> Lösung in Vektorschreibweise an. Geben Sie den Kern der
> Abbildung an.
Welche Abbildung?
Sollst du die aus dem LGS zusammenkonstruieren oder hast du das LGS aus einer gegebenen Abbildungsmatrix zusammengebastelt?
Ist das der Originalwortlaut der Aufgabenstellung?
> Hallo zusammen, obige Aufgabe will gelöst werden.
>
> Leider habe keinen Ansatz, bzw das [mm]x_{4}[/mm] verwirrt mich, da
> es 1 ist, aber auch eine Unbekannte. Vermutlich sehe ich
> den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Naja, [mm]x_4[/mm] ist 1, du hast mit der ersten Gleichung eine Gleichung in 3 Unbekannten, also 2 frei wählbare.
Setze [mm]x_2=s, x_3=t[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm] (falls das der Körper ist, über dem das LGS betrachtet werden soll)
Dann ist [mm]x_1=3-s-t[/mm]
Ein Lösungsvektor hat also die Gestalt [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}=\vektor{3-s-t\\
s\\
t\\
1}=\vektor{3\\
0\\
0\\
1}+s\cdot{}\vektor{-1\\
1\\
0\\
0}+t\cdot{}\vektor{-1\\
0\\
1\\
0}[/mm]
>
> Wer kann mir mit einem Ansatz helfen? Danke!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke ! Ja, das ist die genaue Aufgabenstellung.
Soweit verständlich, doch wie sieht es nun mit dem Kern aus. Dieser besteht doch aus den Vektoren , die auf den Nullvektor abgebildet werden.
In diesem Fall hat man das GLS:
[mm] 1x_{1} [/mm] + [mm] 1x_{2} [/mm] + [mm] 1x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] = 3
[mm] 1x_{4}=1
[/mm]
Daraus die Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }. [/mm] Der Rang ist 1, nach der Dimensionsformel ist die Dimension des Kerns also 3. Damit ist unser Kern also:
ker = span < [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}. [/mm] Das wäre dann auch, wenn die danach gefragt würde, die Basis, da diese Vektoren lin. unabh. sind und den Raum aufspannen?
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Hallo Ciotic,
> Danke ! Ja, das ist die genaue Aufgabenstellung.
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> Soweit verständlich, doch wie sieht es nun mit dem Kern
> aus. Dieser besteht doch aus den Vektoren , die auf den
> Nullvektor abgebildet werden.
>
> In diesem Fall hat man das GLS:
>
> [mm]1x_{1}[/mm] + [mm]1x_{2}[/mm] + [mm]1x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] = 3
> [mm]1x_{4}=1[/mm]
>
> Daraus die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.[/mm] Der Rang ist 1,
> nach der Dimensionsformel ist die Dimension des Kerns also
> 3. Damit ist unser Kern also:
>
> ker = span < [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}.[/mm]
> Das wäre dann auch, wenn die danach gefragt würde, die
> Basis, da diese Vektoren lin. unabh. sind und den Raum
> aufspannen?
>
Der Kern besteht nur aus den letzten 2 Vektoren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Wäre toll, wenn du mir auch noch erklären könntest, warum :)
Stimmt meine Aussage mit der Dimension des Kerns nicht?
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Hallo Ciotic,
> Wäre toll, wenn du mir auch noch erklären könntest,
> warum :)
>
Nun, der Vektor [mm]\pmat{3 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] erfüllt nicht das
homogene Gleichungssystem
[mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \ x_{4}=0[/mm]
> Stimmt meine Aussage mit der Dimension des Kerns nicht?
Der Kern wird durch vorhergehende Gleichungen bestimmt.
Es handelt sich hier um 2 Gleichungen in 4 Variablen.
Damit gibt es 2 freie Variablen. Daraus ergibt sich die
Dimension des Kerns zu 2.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ok. Also die Matrix sähe so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & |3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0}
[/mm]
Wir haben zwei Nullzeilen, Rang ist 2. Diese Zeilen setzen wir gleich null, um den Kern zu berechnen. Korrekt ?
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Hallo Ciotic,
> Ok. Also die Matrix sähe so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & |3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0}[/mm]
>
> Wir haben zwei Nullzeilen, Rang ist 2. Diese Zeilen setzen
> wir gleich null, um den Kern zu berechnen. Korrekt ?
Der Kern berechnet sich aus:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & | \red{0} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & |\red{0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Das meinte ich mit dem gleich null setzen. Wenn man den Kern berechnet, sind dort also automatisch Nullen, unabhängig davon, wie das Gls lautete?
Bildet ein Teil der Vektoren der Abbildung eigentlich immer den Kern? In unseren Beispielen war es immer so, dass die Vektoren der Abbildung in Teilen dem Kern entsprachen. Kannst du mir den Zusammenhang erklären?
Danke !
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Hallo Ciotic,
> Das meinte ich mit dem gleich null setzen. Wenn man den
> Kern berechnet, sind dort also automatisch Nullen,
> unabhängig davon, wie das Gls lautete?
>
Ja.
> Bildet ein Teil der Vektoren der Abbildung eigentlich immer
> den Kern? In unseren Beispielen war es immer so, dass die
> Vektoren der Abbildung in Teilen dem Kern entsprachen.
> Kannst du mir den Zusammenhang erklären?
>
Nun, der Kern besteht aus Vektoren, die durch die Abbildung
auf den Nullvektor abgebildet werden.
> Danke !
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Vielen Dank Euch !
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