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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Lineare Gleichungen: Idee bzw. Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Di 30.12.2014
Autor: Mathilda1

Aufgabe
143x + 77y  = 297

Bei dieser Aufgabe soll ich alle geordneten Paare (x;y) ganzer Zahlen x,y, obenstehender Gleichung ermitteln.

Wie muss ich dabei vorgehen???

        
Bezug
Lineare Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Di 30.12.2014
Autor: smoot

Hallo,

Gibt es denn noch eine weitere Gleichung zu dieser Aufgabe?
Denn die Gleichung enthält zwei Unbekannte (x,y), die nur dann bestimmt werden können wenn auch zwei Gleichungssysteme gegeben sind. Ansonsten kannst du die Gleichung lediglich nach x oder y umstellen, sodass x oder y alleine stehen.

Gruß smoot

Bezug
                
Bezug
Lineare Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Di 30.12.2014
Autor: GvC

Die zweite Gleichung muss sich aus der Vorgabe ergeben, dass x und y laut Aufgabenstellung ganze Zahlen sein sollen. Das ist nun mathematisch zu formulieren.

Bezug
        
Bezug
Lineare Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Di 30.12.2014
Autor: abakus


> 143x + 77y = 297
> Bei dieser Aufgabe soll ich alle geordneten Paare (x;y)
> ganzer Zahlen x,y, obenstehender Gleichung ermitteln.

>

> Wie muss ich dabei vorgehen???

Hallo,
so etwas nennt man lineare diophantische Gleichung.
Wende also das Lösungsverfahren an, das du für solche Aufgaben in der Vorlesung/im Skript/im Unterricht vermittelt bekommen hast.

Ein erster Blick sollte natürlich nach Möglichkeiten der Vereinfachung suchen (77 hat nur zwei Primteiler - lassen sich die beteiligten Zahlen (und damit die gesamte Gleichung) durch einen dieser Primteiler teilen?

PS: Ich lese erst jetzt, wer die Anfrage gestellt hat. Unter der Aufgabe steht:
[ Lies dazu im "Arbeitsmaterial" den Abschnitt 3.2. (Lineare diophantische Gleichungen) und wiederhole den Abschnitt 3.1. (Lineare Kongruenzen) . ]

Wenn du die Gleichung durch beidseitige Division vereinfacht hast, hat sie immer noch die Form
ax+by=c (nur mit etwas kleineren Zahlen als bisher).
Du kannst dann beide Seiten nach dem Modul a (oder nach dem Modul b) betrachten.
Aus ax+by=c  folgt z.B. [mm] (ax+by)\equiv [/mm] c mod a.
Das ax durch a teilbar ist und somit bei Teilung durch a den Rest 0 lässt, kann man das sogar noch vereinfachen zu [mm] (0+by)\equiv [/mm] c mod a, also zu
[mm] b\cdot y\equiv [/mm] c mod a.


Bezug
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