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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Fr 12.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen im [mm] \IR^n [/mm] richtig sind und begründen sie ihre Antwort. Betrachten sie das Gleichungssystem:
[mm] a_{11}x_1+......a_{1n}x_n=b_1
[/mm]
. .
. .
. .
.
[mm] a_{m1}x_1+......a_{mn}x_n=b_m
[/mm]
a)Die Lösungsmenge enthält die Null in [mm] \R^n [/mm] genau dann, wenn das System homogen ist.
b) Ist die Anzahl der Gleichungen m, größer als die Anzahl der Variablen n, so hat das System keine Lösung.
c) Es gibt nur dann eine Lösung, wenn mindestens ein Koffezienten [mm] a_{ij} [/mm] gleich 0 ist.
d) Das System hat genau dann eine Lösung, wenn es in Stufenform gebracht werden kann.
e)Ist bei einem homogenen System, die Anzahl der Gleichungen m kleiner als die Anzahl der Variablen n, so gibt es Lösungen, die nicht gleich Null sind.
f) Die Anzahl der Lösungen, ist gleich der Anzahl der Pivotvariablen.
g) Gilt r=n, ist also der Rang gleich der Anzahl der Variablen, so ist das System eindeutig lösbar. |
Hallo,
bei einigen dieser Aussagen komme ich nicht klar und ich würde mich freuen, wenn jemand mir helfen könnte.
Was ich bis jetzt habe:
g) ist richtig, dass haben wir schon in der Vorlesung gezeigt.
d) ist nicht richtig. Mit der Stufenform kann man nur am schnellsten sehen, ob die Gleichung eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.
b) ist falsch ein Gegenbeispiel, wäre eine Übung die wir heute gemacht haben.
c) ist falsch
Gegenbeispiel:
x+2y+3z=2
x+y+z=2
3x+3y+z=0
durch Umformungen bekommt man: z=3, y=-6 und x=5 also keine Null.
bei der a bin ich mir unsicher, aber ich denke, dass es nicht richtig ist, denn das ein System homogen ist, bedeutet ja, dass b1 bis bm null sein muss. Es gibt aber Systeme, wo nur ein b null ist, d.h. Systeme mit einer Null die dann nicht homogen sind.
bei e und f muss ich noch überlegen.
Wäre super, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Überlegungen richtig sind.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen im [mm]\IR^n[/mm]
> richtig sind und begründen sie ihre Antwort. Betrachten
> sie das Gleichungssystem:
>
> [mm]a_{11}x_1+......a_{1n}x_n=b_1[/mm]
> . .
> . .
> . .
> .
> [mm]a_{m1}x_1+......a_{mn}x_n=b_m[/mm]
>
> a)Die Lösungsmenge enthält die Null in [mm]\R^n[/mm] genau dann,
> wenn das System homogen ist.
> b) Ist die Anzahl der Gleichungen m, größer als die
> Anzahl der Variablen n, so hat das System keine Lösung.
> c) Es gibt nur dann eine Lösung, wenn mindestens ein
> Koffezienten [mm]a_{ij}[/mm] gleich 0 ist.
> d) Das System hat genau dann eine Lösung, wenn es in
> Stufenform gebracht werden kann.
> e)Ist bei einem homogenen System, die Anzahl der
> Gleichungen m kleiner als die Anzahl der Variablen n, so
> gibt es Lösungen, die nicht gleich Null sind.
> f) Die Anzahl der Lösungen, ist gleich der Anzahl der
> Pivotvariablen.
> g) Gilt r=n, ist also der Rang gleich der Anzahl der
> Variablen, so ist das System eindeutig lösbar.
> Hallo,
>
>
> bei einigen dieser Aussagen komme ich nicht klar und ich
> würde mich freuen, wenn jemand mir helfen könnte.
>
> Was ich bis jetzt habe:
>
>
> g) ist richtig, dass haben wir schon in der Vorlesung
> gezeigt.
> d) ist nicht richtig. Mit der Stufenform kann man nur am
> schnellsten sehen, ob die Gleichung eine Lösung, keine
> Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.
> b) ist falsch ein Gegenbeispiel, wäre eine Übung die wir
> heute gemacht haben.
> c) ist falsch
> Gegenbeispiel:
>
> x+2y+3z=2
> x+y+z=2
> 3x+3y+z=0
>
> durch Umformungen bekommt man: z=3, y=-6 und x=5 also keine
> Null.
Bis hier ist alles O.K.
>
> bei der a bin ich mir unsicher, aber ich denke, dass es
> nicht richtig ist, denn das ein System homogen ist,
> bedeutet ja, dass b1 bis bm null sein muss. Es gibt aber
> Systeme, wo nur ein b null ist, d.h. Systeme mit einer Null
> die dann nicht homogen sind.
Dein System kannst Du kurz so schreiben:
(*) Ax=b
1. Ist b=0, so ist x=0 eine Lösung von (*) (das dürfte klar sein)
2. Ist x=0 eine Lösung von (*), so ist b=A0=0
>
> bei e und f muss ich noch überlegen.
Dann mach mal.
FRED
>
> Wäre super, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine
> Überlegungen richtig sind.
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 12.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Fred,
danke erstmal für deine Hilfe!
zu e und f)
e) Das dies nicht richtig ist, folgt schon aus der Definition von homogen und inhomogen: Gleichungssysteme, bei denen alle bi gleich 0 sind, werden homogen genannt, andernfalls inhomogen.
zu f) Das stimmt auch nicht, denn es gibt ja auch Gleichungen die keine Lösung haben.
ist das richtig?
Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 So 14.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich wollte mitteilen, dass ich immer noch an einer Antwort interessiert bin.
Lg Melisa
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Hallo Melisa,
> e) Das dies nicht richtig ist, folgt schon aus der
> Definition von homogen und inhomogen: Gleichungssysteme,
> bei denen alle bi gleich 0 sind, werden homogen genannt,
> andernfalls inhomogen.
Ja, und? Wie folgt das daraus?
Hier ein homogenes Gleichungssystem mit m<n:
[mm] 2x_1+3x_2-5x_3=0
[/mm]
[mm] 3x_1-5x_2+2x_3=0
[/mm]
(1,1,1) ist eine Lösung. Gibt es noch mehr?
> zu f) Das stimmt auch nicht, denn es gibt ja auch
> Gleichungen die keine Lösung haben.
Wie habt Ihr denn Pivotvariable definiert?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 14.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
> Ja, und? Wie folgt das daraus?
> Hier ein homogenes Gleichungssystem mit m<n:
>
> [mm]2x_1+3x_2-5x_3=0[/mm]
> [mm]3x_1-5x_2+2x_3=0[/mm]
>
> (1,1,1) ist eine Lösung. Gibt es noch mehr?
Ja zum Beispiel (0,0,0)
> > zu f) Das stimmt auch nicht, denn es gibt ja auch
> > Gleichungen die keine Lösung haben.
>
> Wie habt Ihr denn Pivotvariable definiert?
>
Es gibt ja die Pivotelemente und dazu gehörige Variablen [mm] x_{j1},x_{j2},.....,x_{jn}
[/mm]
zum Beipsiel:
[mm] 2x_1+5x_2+7x_3
[/mm]
[mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] sind die Pivotvariablen
Lg Melisa
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Hmpf.
> > Ja, und? Wie folgt das daraus?
> > Hier ein homogenes Gleichungssystem mit m<n:>
> >
> > [mm]2x_1+3x_2-5x_3=0[/mm]
> > [mm]3x_1-5x_2+2x_3=0[/mm]
> >
> > (1,1,1) ist eine Lösung. Gibt es noch mehr?
>
> Ja zum Beispiel (0,0,0)
Diese Antwort ist eine Nullnummer. Der Nullvektor löst jedes homogene Gleichungssystem und ist darum uninteressant.
Die allgemeine Lösung dieses Gleichungssystems ist (t,t,t), [mm] t\in\IR.
[/mm]
Was sagt Dir das in Bezug auf die Aufgabe?
> > > zu f) Das stimmt auch nicht, denn es gibt ja auch
> > > Gleichungen die keine Lösung haben.
> >
> > Wie habt Ihr denn Pivotvariable definiert?
> >
>
> Es gibt ja die Pivotelemente und dazu gehörige Variablen
> [mm]x_{j1},x_{j2},.....,x_{jn}[/mm]
>
> zum Beipsiel:
>
> [mm]2x_1+5x_2+7x_3[/mm]
>
>
> [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] sind die Pivotvariablen
Das ist ein Beispiel, aber keine Definition. Die zugrundeliegende kann ich so nur raten, aber es sieht so aus, als wäre Deine Antwort auf Frage f) dann richtig. Übrigens fragt sich auch wie Lösungen gezählt werden. Ich gehe davon aus, dass nur der ganze Lösungsvektor eine Lösung ist, und dann gäbe es zahlreiche weitere Gründe, der Behauptung f) zu widersprechen.
Grüße
reverend
</n:>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 So 14.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo reverend,
>
> Diese Antwort ist eine Nullnummer. Der Nullvektor löst
> jedes homogene Gleichungssystem und ist darum
> uninteressant.
> Die allgemeine Lösung dieses Gleichungssystems ist
> (t,t,t), [mm]t\in\IR.[/mm]
> Was sagt Dir das in Bezug auf die Aufgabe?
>
Das bedeutet die Aussage ist richtig.
Vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 So 14.11.2010 | | Autor: | reverend |
Na, Moment noch.
Ist die Aussage denn auch allgemein gültig, oder war vielleicht nur das Beispiel glücklich gewählt?
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Sa 13.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
sry diese frage ist natürlich schon beantwortet
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