Lineare Hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich brauche schon wieder eure Hilfe...
Ich beschäftige mich grade mit dem Begriff der Linearen Hülle und habe hier ein paar Aussagen, die ich nicht recht verstehe.
Erstmal haben wir in unserer Definition der Linearen Hülle die Aussage, dass $<A>$ der von Elementen in $A$ aufgespannte Unterraum von $V$ ist.
Was genau sagt mir das?
Hat es etwas mit dem Satz zu tun, dass für jede Teilmenge $A$ eines Vektorraums $V$ die lineare Hülle $<A>$ ein Unterraum von $V$ ist?
Dann die nächste Aussage: $A [mm] \subset [/mm] <A>$
Ich glaube, die kann ich mir erklären: Jeden Vektor in $A$ kann ich als Linearkombination aller Vektoren in $A$ darstellen, wenn ich den Koeffizienten vor diesem Vektor auf $1$ setze und alle anderen auf $0$, richtig?
Die nächste Aussage versteh ich nicht. Sie besagt:
Für $A [mm] \subset [/mm] V$ und einen Unterraum $U [mm] \subset [/mm] V$ , folgt aus $A [mm] \subset [/mm] U$, dass $<A> [mm] \subset [/mm] U$. (Linearkombinationen von Vektoren in einem Unterraum $U$ sind enthalten in $U$.) Also ist $<A>$ der kleinste Unterraum von $V$, der $A$ enthält.
Diese Aussage versteh ich gar nicht ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Und zum Schluss: Wenn $A [mm] \subset [/mm] B$, dann auch $<A> [mm] \subset [/mm] <B>$.
Das habe ich mal versucht, mir an einem Beispiel zu erklären:
Sei [mm] $A=\{ v_1,v_2 \}$ [/mm] und [mm] $B=\{ v_1,v_2 ,v_3\}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $A=\{ v| a_1v_1+a_2v_2 \}$ [/mm] und [mm] $B=\{ v| b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3 \}$. [/mm]
Aber irgendwie sehe ich darin keine Teilmengenbeziehung
Könnt ihr mir helfen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Do 27.08.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Nadine,
> Erstmal haben wir in unserer Definition der Linearen Hülle
> die Aussage, dass [mm][/mm] der von Elementen in [mm]A[/mm] aufgespannte
> Unterraum von [mm]V[/mm] ist.
> Was genau sagt mir das?
Das sind alle Linearkombinationen der Elemente in A.
> Hat es etwas mit dem Satz zu tun, dass für jede Teilmenge
> [mm]A[/mm] eines Vektorraums [mm]V[/mm] die lineare Hülle [mm][/mm] ein Unterraum
> von [mm]V[/mm] ist?
das ist auch wahr.
> Dann die nächste Aussage: [mm]A \subset [/mm]
> Ich glaube, die
> kann ich mir erklären: Jeden Vektor in [mm]A[/mm] kann ich als
> Linearkombination aller Vektoren in [mm]A[/mm] darstellen, wenn ich
> den Koeffizienten vor diesem Vektor auf [mm]1[/mm] setze und alle
> anderen auf [mm]0[/mm], richtig?
genau so ist es.
> Die nächste Aussage versteh ich nicht. Sie besagt:
> Für [mm]A \subset V[/mm] und einen Unterraum [mm]U \subset V[/mm] , folgt
> aus [mm]A \subset U[/mm], dass [mm] \subset U[/mm]. (Linearkombinationen
> von Vektoren in einem Unterraum [mm]U[/mm] sind enthalten in [mm]U[/mm].)
> Also ist [mm][/mm] der kleinste Unterraum von [mm]V[/mm], der [mm]A[/mm] enthält.
> Diese Aussage versteh ich gar nicht
Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche Unterraum, der A enthält. Wenn es also einen Unterraum U gibt, der A enthält, muss dieser zwangsläufig "größer" sein.
> Und zum Schluss: Wenn [mm]A \subset B[/mm], dann auch [mm] \subset [/mm].
Das versteht man am besten wieder mit der Überlegung, dass die lineare Hülle von A die Menge aller Linearkombinationen der Elemente in A ist.
> Das habe ich mal versucht, mir an einem Beispiel zu
> erklären:
> Sei [mm]A=\{ v_1,v_2 \}[/mm] und [mm]B=\{ v_1,v_2 ,v_3\}[/mm].
> Dann ist
> [mm]A=\{ v| a_1v_1+a_2v_2 \}[/mm] und [mm]B=\{ v| b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3 \}[/mm].
> Aber irgendwie sehe ich darin keine Teilmengenbeziehung
Wenn du in B die Koeffizienten [mm] $b_1=a_1, b_2=a_2$ [/mm] und [mm] $b_3=0$ [/mm] setzt, bekommst du die selben Elemente wie in A mit diesen Koeff.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Will!
> Das sind alle Linearkombinationen der Elemente in A.
Die Definition der Linearen Hülle habe ich verstanden.
Was ich nicht verstanden habe, war die Aussage mit dem aufgespannten Unterraum.
Was ist ein aufgespannter Unterraum und was ist der von Elementen in $ A $ aufgespannte Unterraum von $ V $?
> Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche
> Unterraum, der A enthält.
Warum ist das so?
> Wenn du in B die Koeffizienten [mm]b_1=a_1, b_2=a_2[/mm] und [mm]b_3=0[/mm]
> setzt, bekommst du die selben Elemente wie in A mit diesen
> Koeff.
Ok, danke, ich denke, das hab ich verstanden.
Weil ich in $<B>$ Elemente bilden kann, die in $<A>$ enthalten sind, aber zusätzlich auch noch andere Elemente in $<B>$ enthalten sind, die in $<A>$ nicht enthalten sind, ist $<A>$ eine Teilmenge von $<B>$, richtig?
LG, Nadine
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> > Das sind alle Linearkombinationen der Elemente in A.
>
> Die Definition der Linearen Hülle habe ich verstanden.
> Was ich nicht verstanden habe, war die Aussage mit dem
> aufgespannten Unterraum.
> Was ist ein aufgespannter Unterraum
Hallo,
der von einer Menge aufgespannte Unterraum ist die lineare Hülle dieser Menge.
> und was ist der von
> Elementen in [mm]A[/mm] aufgespannte Unterraum von [mm]V [/mm]?
Die lineare Hülle von A.
>
>
>
> > Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche
> > Unterraum, der A enthält.
>
> Warum ist das so?
In A hast Du irgendwelche Elemente.
Aufgrund der VR-Axiome muß jeder VR, der A enthält, auch sämtliche Linearkombinationen aus Elementen von A enthalten.
>
>
>
> > Wenn du in B die Koeffizienten [mm]b_1=a_1, b_2=a_2[/mm] und [mm]b_3=0[/mm]
> > setzt, bekommst du die selben Elemente wie in A mit diesen
> > Koeff.
>
> Ok, danke, ich denke, das hab ich verstanden.
> Weil ich in [mm][/mm] Elemente bilden kann, die in [mm][/mm] enthalten
> sind, aber zusätzlich auch noch andere Elemente in [mm][/mm]
> enthalten sind, die in [mm][/mm] nicht enthalten sind, ist [mm][/mm]
> eine Teilmenge von [mm][/mm], richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
>
>
>
> LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Hallo,
>
> der von einer Menge aufgespannte Unterraum ist die lineare
> Hülle dieser Menge.
Das die Elemente der Menge $<A>$ einen Unterraum bilden, habe ich verstanden.
Was ich nicht verstehe ist die Bedeutung von aufgespannt, weil dieser Begriff bisher nie gefallen ist.
Die Elemente von $A$ alleine bilden aber keinen Unterraum, oder kann das auch auch passieren?
> > > Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche
> > > Unterraum, der A enthält.
> >
> > Warum ist das so?
>
> In A hast Du irgendwelche Elemente.
> Aufgrund der VR-Axiome muß jeder VR, der A enthält, auch
> sämtliche Linearkombinationen aus Elementen von A
> enthalten.
Ehrlich gesagt verstehe ich das noch nicht
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
>
> > Hallo,
> >
> > der von einer Menge aufgespannte Unterraum ist die lineare
> > Hülle dieser Menge.
>
> Das die Elemente der Menge [mm][/mm] einen Unterraum bilden, habe
> ich verstanden.
> Was ich nicht verstehe ist die Bedeutung von aufgespannt,
> weil dieser Begriff bisher nie gefallen ist.
Hallo,
"der von A aufgespannte Raum" ist lediglich ein anderer Ausdruck für "die lineare Hülle von A."
> Die Elemente von [mm]A[/mm] alleine bilden aber keinen Unterraum,
> oder kann das auch auch passieren?
Klar. Nimm die Standardeinheitsvektoren des [mm] \IR^3. [/mm] Die sind mit Sicherheit kein VR. Der von ihnen aufgespannte Raum = ihre lineare Hülle sehr wohl.
>
>
>
> > > > Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche
> > > > Unterraum, der A enthält.
> > In A hast Du irgendwelche Elemente.
> > Aufgrund der VR-Axiome muß jeder VR, der A enthält,
> auch
> > sämtliche Linearkombinationen aus Elementen von A
> > enthalten.
>
> Ehrlich gesagt verstehe ich das noch nicht
Stell Dir mal vor, Du hast in einem VR z.B. irgendwelche Vektoren [mm] b_1, b_2, b_3, b_4.
[/mm]
Kann es sein, daß [mm] b:=1*b_1+2*b_2+3*b_3+4*b_4 [/mm] nicht in diesem Raum liegt.
Oder anders: warum muß b in diesem Raum liegen? (VR-Axiome angucken.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela,
> Klar. Nimm die Standardeinheitsvektoren des [mm]\IR^3.[/mm] Die sind
> mit Sicherheit kein VR. Der von ihnen aufgespannte Raum =
> ihre lineare Hülle sehr wohl.
Ich glaube, hier haben wir uns missverstanden.
Meine Frage ist:
Wenn ich eine Menge habe (die ja Teilmenge des Vektorraums ist), kann dann diese Teilmenge auch ein Unterraum sein, ohne ihre Lineare Hülle?
Also z.B. $A= [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}$.
[/mm]
Die Lineare Hülle davon, also $<A>$ ist ja ein Unterraum (von $V$?).
(Sagt man ist ein Unterraum oder bildet einen Unterraum oder ist das egal)?
Aber können auch nur die Vektoren von $A$ (ohne ihre Lineare Hülle) ein Unteraum sein? Also kann [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \} [/mm] ein Unterraum sein?
> > > > > Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche
> > > > > Unterraum, der A enthält.
>
> > > In A hast Du irgendwelche Elemente.
> > > Aufgrund der VR-Axiome muß jeder VR, der A
> enthält,
> > auch
> > > sämtliche Linearkombinationen aus Elementen von A
> > > enthalten.
> >
> > Ehrlich gesagt verstehe ich das noch nicht
>
> Stell Dir mal vor, Du hast in einem VR z.B. irgendwelche
> Vektoren [mm]b_1, b_2, b_3, b_4.[/mm]
>
> Kann es sein, daß [mm]b:=1*b_1+2*b_2+3*b_3+4*b_4[/mm] nicht in
> diesem Raum liegt.
> Oder anders: warum muß b in diesem Raum liegen?
> (VR-Axiome angucken.)
Hmm, das muss vielleicht im Raum liegen, weil die Additionsveknüpfung Elemente aus dem Raum wieder auf ein Element aus dem Raum abbildet?
LG, Nadine
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> Wenn ich eine Menge habe (die ja Teilmenge des Vektorraums
> ist), kann dann diese Teilmenge auch ein Unterraum sein,
> ohne ihre Lineare Hülle?
Ja, wenn die Menge A bereits ein (Unter)vektorraum ist.
>
> Also z.B. [mm]A= \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}[/mm].
Das ist eine Menge mit drei Elementen, und die ist kein VR.
>
> Die Lineare Hülle davon, also [mm][/mm] ist ja ein Unterraum
Die lineare Hülle von A ist der [mm] \IR^3.
[/mm]
> (von [mm]V[/mm]?).
> (Sagt man ist ein Unterraum oder bildet einen Unterraum
> oder ist das egal)?
Das ist egal.
>
> Aber können auch nur die Vektoren von [mm]A[/mm] (ohne ihre Lineare
> Hülle) ein Unteraum sein? Also kann [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}[/mm]
> ein Unterraum sein?
Wie gesagt, das sind drei Vektoren, die Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] sind, und die sin kein VR. es ist ja [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] nicht drin.
>
>
>
> > > > > > Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche
> > > > > > Unterraum, der A enthält.
> >
> > > > In A hast Du irgendwelche Elemente.
> > > > Aufgrund der VR-Axiome muß jeder VR, der A
> > enthält,
> > > auch
> > > > sämtliche Linearkombinationen aus Elementen von A
> > > > enthalten.
> > >
> > > Ehrlich gesagt verstehe ich das noch nicht
> >
> > Stell Dir mal vor, Du hast in einem VR z.B. irgendwelche
> > Vektoren [mm]b_1, b_2, b_3, b_4.[/mm]
> >
> > Kann es sein, daß [mm]b:=1*b_1+2*b_2+3*b_3+4*b_4[/mm] nicht in
> > diesem Raum liegt.
> > Oder anders: warum muß b in diesem Raum liegen?
> > (VR-Axiome angucken.)
>
> Hmm, das muss vielleicht im Raum liegen, weil die
> Additionsveknüpfung Elemente aus dem Raum wieder auf ein
> Element aus dem Raum abbildet?
Ja, sämtliche Vielfache eines jeden Vektors sind im VR, und sämtliche Summen.
Gruß v. Angela
>
>
>
> LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Die aufgespannte Unterraum bzw. die Lineare Hülle von $A$, ist dieser Unterraum dann immer ein Unterraum von $V$?
Das Wort aufspannen an sich, heißt das sowas wie bilden?
Also ich auch schon gelesen, die drei Einheitsvektoren des [mm] \IR^3 [/mm] spannen den [mm] \IR^3 [/mm] auf.
Heißt das dann soviel, wie diese drei Vektoren bilden den Raum?
Also mir ist die Bedeutung des Wortes aufspannen nicht so ganz klar.
> > > > > > > Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche
> > > > > > > Unterraum, der A enthält.
> > >
> > > > > In A hast Du irgendwelche Elemente.
> > > > > Aufgrund der VR-Axiome muß jeder VR, der A
> > > enthält,
> > > > auch
> > > > > sämtliche Linearkombinationen aus Elementen von A
> > > > > enthalten.
> > > >
> > > > Ehrlich gesagt verstehe ich das noch nicht
> > >
> > > Stell Dir mal vor, Du hast in einem VR z.B. irgendwelche
> > > Vektoren [mm]b_1, b_2, b_3, b_4.[/mm]
> > >
> > > Kann es sein, daß [mm]b:=1*b_1+2*b_2+3*b_3+4*b_4[/mm] nicht in
> > > diesem Raum liegt.
> > > Oder anders: warum muß b in diesem Raum liegen?
> > > (VR-Axiome angucken.)
> >
> > Hmm, das muss vielleicht im Raum liegen, weil die
> > Additionsveknüpfung Elemente aus dem Raum wieder auf ein
> > Element aus dem Raum abbildet?
>
> Ja, sämtliche Vielfache eines jeden Vektors sind im VR,
> und sämtliche Summen.
Ok, nochmal zu der Aussage zurück:
Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche Unterraum, der A enthält.
Die lineare Hülle von $A$ ist ein Unterraum - ok.
$A$ ist in seiner linearen Hülle enthalten - ok.
Aber: Wieso ist die linerare Hülle von $A$ der kleinstmögliche Unterraum, der $A$ enthält.
Das verstehe ich noch nicht.
LG, Nadine
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> Die aufgespannte Unterraum bzw. die Lineare Hülle von [mm]A[/mm],
> ist dieser Unterraum dann immer ein Unterraum von [mm]V[/mm]?
Hallo,
ja, wenn [mm] A\subseteq [/mm] V, dann kann das ja nicht anders sein.
>
> Das Wort aufspannen an sich, heißt das sowas wie bilden?
Ja.
> Also ich auch schon gelesen, die drei Einheitsvektoren des
> [mm]\IR^3[/mm] spannen den [mm]\IR^3[/mm] auf.
> Heißt das dann soviel, wie diese drei Vektoren bilden den
> Raum?
Die Menge ihrer Linearkombinationen ist der [mm] \IR^3.
[/mm]
> Also mir ist die Bedeutung des Wortes aufspannen nicht so
> ganz klar.
Denk an ![[]](/images/popup.gif) Entenfüße. Die Zehen sind drei Vektoren, die Schwimmhaut die von ihnen aufgespannte Ebene - welche in Wahrheit natürlich über die Entenfüße hinausgeht.
> Die lineare Hülle von A ist der kleinstmögliche
> Unterraum, der A enthält.
>
> Die lineare Hülle von [mm]A[/mm] ist ein Unterraum - ok.
> [mm]A[/mm] ist in seiner linearen Hülle enthalten - ok.
>
> Aber: Wieso ist die linerare Hülle von [mm]A[/mm] der
> kleinstmögliche Unterraum, der [mm]A[/mm] enthält.
>
> Das verstehe ich noch nicht.
<A > besteht aus allen Linearkombinationen, die man auch Vektoren aus A bilden kann.
Irgendwie wiederhole ich mich jetzt:
aufgrund der VR-Axiome muß, wenn A Teilmenge eines VRes U ist, auf jeden Fall jede Linearkombination von Vektoren aus A auch in diesem VR U drin sein.
Somit ist [mm] \subseteq [/mm] U, und der kleinste VR U bei dem das der Fall ist, ist nunmal <A> selber.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela.
> Irgendwie wiederhole ich mich jetzt:
> aufgrund der VR-Axiome muß, wenn A Teilmenge eines VRes U
> ist, auf jeden Fall jede Linearkombination von Vektoren aus
> A auch in diesem VR U drin sein.
> Somit ist [mm]\subseteq[/mm] U, und der kleinste VR U bei dem
> das der Fall ist, ist nunmal <A> selber.
Hmm, also muss ich noch ein Weilchen drüber nachdenken...
Auf jeden Fall schon mal danke für deine Hilfe.
LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela.
> Irgendwie wiederhole ich mich jetzt:
> aufgrund der VR-Axiome muß, wenn A Teilmenge eines VRes U
> ist, auf jeden Fall jede Linearkombination von Vektoren aus
> A auch in diesem VR U drin sein.
Liegt das an den VR-Axiomen oder an den Unterraum-Axiomen?
(U ist bei uns ein Unterraum, ist er damit auch ein Vektorraum? Bin grad verwirrt...)
Meine Vermutung ist, dass es an den Unterraum-Axiomen liegt, da ja die Summe zweier Unterraumelelemente und die Multiplikation eines Unterrauselements mit einem Skalar wieder im Unterraum liegen müssen.
Zusammengenommen gibt das ja dann Linearkombinationen.
Also ist auch die Lineare Hülle von A Teilmenge des Unterraums U, wenn A Teilmenge des Unterraums U ist.
Ist das so richtig?
LG, Nadine
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> > Irgendwie wiederhole ich mich jetzt:
> > aufgrund der VR-Axiome muß, wenn A Teilmenge eines VRes U
> > ist, auf jeden Fall jede Linearkombination von Vektoren aus
> > A auch in diesem VR U drin sein.
>
> Liegt das an den VR-Axiomen oder an den Unterraum-Axiomen?
> (U ist bei uns ein Unterraum, ist er damit auch ein
> Vektorraum? Bin grad verwirrt...)
Hallo,
jeder Unterraum ist ein Vektorraum, halt ein Vektorraum, der in einem anderen VR drinsteckt. Wie bei einer russischen Puppe.
>
> Meine Vermutung ist, dass es an den Unterraum-Axiomen
> liegt, da ja die Summe zweier Unterraumelelemente und die
> Multiplikation eines Unterrauselements mit einem Skalar
> wieder im Unterraum liegen müssen.
Eben. Und das ist nicht nur im Unterraum so, sondern im VR auch.
> Zusammengenommen gibt das ja dann Linearkombinationen.
Ja.
>
> Also ist auch die Lineare Hülle von A Teilmenge des
> Unterraums U, wenn A Teilmenge des Unterraums U ist.
>
> Ist das so richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
>
>
>
> LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> jeder Unterraum ist ein Vektorraum, halt ein Vektorraum,
> der in einem anderen VR drinsteckt. Wie bei einer
> russischen Puppe.
Und die beiden Vektorraumabbildungen [mm] $\oplus: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ und [mm] $\odot: [/mm] k [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$, die besagen, dass Addtion und Multiplikation nicht aus der Menge $V$ rausgehen, die werden für den Unterraum durch die beiden Unterraumaxiome $x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] U$ und $a [mm] \in [/mm] K, x [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a*x [mm] \in [/mm] U$ ausgedrückt?
Und die ganzen Axiome eines Vektorraums, also Kommutativität, Assoziativität, Disktributivität und so (diese ganzen Rechenregeln eben), die werden vom Vektorraum direkt an $U$ vererbt, weil ja $U$ eine Teilmenge von $V$ ist, und deshalb müssen ja auf der verringerten Anzahl an Elementen immer noch die selben Rechenregeln gelten?
Kann man das so sagen?
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
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> > jeder Unterraum ist ein Vektorraum, halt ein Vektorraum,
> > der in einem anderen VR drinsteckt. Wie bei einer
> >
> russischen Puppe.
>
> Und die beiden Vektorraumabbildungen [mm]\oplus: V \times V \to V[/mm]
> und [mm]\odot: k \times V \to V[/mm], die besagen, dass Addtion und
> Multiplikation nicht aus der Menge [mm]V[/mm] rausgehen, die werden
> für den Unterraum durch die beiden Unterraumaxiome [mm]x,y \in U \Rightarrow x+y \in U[/mm]
> und [mm]a \in K, x \in U \Rightarrow a*x \in U[/mm] ausgedrückt?
Hallo,
ja, man muß hier sicherstellen, daß bei Verknüpfungen die neuen Vektoren nicht aus U rausspringen.
>
> Und die ganzen Axiome eines Vektorraums, also
> Kommutativität, Assoziativität, Disktributivität und so
> (diese ganzen Rechenregeln eben), die werden vom Vektorraum
> direkt an [mm]U[/mm] vererbt, weil ja [mm]U[/mm] eine Teilmenge von [mm]V[/mm] ist,
> und deshalb müssen ja auf der verringerten Anzahl an
> Elementen immer noch die selben Rechenregeln gelten?
>
> Kann man das so sagen?
Ja.
Gruß v. Angela
>
> LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela.
> Somit ist [mm]\subseteq[/mm] U, und der kleinste VR U bei dem
> das der Fall ist, ist nunmal <A> selber.
Hmm, ich hab das Gefühl, dass du meinst, dass $<A>$ der kleinste Unterraum ist, der $<A>$ enthält.
Aber $<A>$ soll ja der kleinste Unterraum sein, der $A$ enthält (nicht die Lineare Hülle!).
Und irgendwie versteh ich nicht, woher ich weiß, dass es nicht noch einen kleineren Unterraum von $V$ gibt, der die Menge $A$ enthält
Das ist alles sooo komplizert mit diesen Vektorräumen :-(
LG, Nadine
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> Hallo Angela.
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> > Somit ist [mm]\subseteq[/mm] U, und der kleinste VR U bei dem
> > das der Fall ist, ist nunmal <A> selber.
>
> Hmm, ich hab das Gefühl, dass du meinst, dass [mm][/mm] der
> kleinste Unterraum ist, der [mm][/mm] enthält.
Das gilt natülich auch, aber ich meine, daß es der kleinste UR ist, der A enthält.
> Und irgendwie versteh ich nicht, woher ich weiß, dass es
> nicht noch einen kleineren Unterraum von [mm]V[/mm] gibt, der die
> Menge [mm]A[/mm] enthält
Weil aufgrund der VR-Axiome jede Linearkombination von Vektoren von A in einem VR dinsein muß, welcher A enthält.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
> Weil aufgrund der VR-Axiome jede Linearkombination von
> Vektoren von A in einem VR dinsein muß, welcher A
> enthält.
Ah, ich glaube, jetzt hab ich's verstanden 
Vielen Dank, Angela!
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![[]](http://www.epochtimes.de/pics/2009/01/21/xxl/2009-01-21-xxl--S11_1sp_Enten_habe_kalte_Fuesse_Frank-Guellmeister_pixelio.de_Kopie_new.jpg){kind=tracking}
Entenfüße![[]](http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Russian-Matroshka.jpg){kind=small}
russischen Puppe