Lineare Hülle - Beweise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Di 24.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | 1.) Genau dann ist M=Lin(M), wenn M ein Teilraum von V ist.
2.) Es gilt: Lin(M)=Lin(Lin(M)) |
Hallo,
leider komme ich bei diesen beiden Aufgaben nicht weiter. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand etwas weiterhelfen bzw. ein paar Tips geben könnte.
Der "logische" Beweis zu ii) ist mir bewusst, doch wie formuliere ich ihn mathematisch?! ("Wenn M ein Teilraum von V ist, so ist M bzgl. der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen. Lin(M) enthält aber gerade aus diesen Operationen zusammengesetzte Vektoren aus M, sodass M=Lin(M) folgt. ")
Viele Grüße,
Commotus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Di 24.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Commotus,
> 1.) Genau dann ist M=Lin(M), wenn M ein Teilraum von V
> ist.
> 2.) Es gilt: Lin(M)=Lin(Lin(M))
Mengengleichheiten zeigst du am besten durch Inklusion.
Zu 2)
Du mußt zeigen, dass $Lin(M) [mm] \subset [/mm] Lin(Lin(M))$ und dass $Lin(Lin(M)) [mm] \subset [/mm] Lin(M)$ indem du dir jeweils ein beliebiges Element aus der einen Menge nimmst und zeigst, dass es in der anderen Menge enthalten ist.
Bei 1) sind beide Richtungen der Äquivalenz einzeln zu zeigen, wobei du ausnutzt, dass jedes Element aus $M$ auch ein Element aus $Lin(M)$ ist und umgekehrt.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 24.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Hallo Astrid,
vielen Dank für deine Hilfe. Aufgabenteil ii) konnte ich mittlerweile nun zeigen. bei iii) komme ich jedoch nicht weiter. Wie schaut ein solches Element von Lin(Lin(M)) "anschaulich" aus. Im Prinzip ist es doch eine Linearkombination einer Linearkombination von Vektoren aus M. Könntest du mir bitte eine Richtung des Beweises zu iii) anhand eines Beispiels kurz erläutern?
Gruß,
Commotus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 24.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Commotus,
es geht wohl auch einfacher, als das wirklich über die Darstellung eines einzelnen Vektors zu beweisen:
$Lin(M) [mm] \subset [/mm] Lin(Lin(M))$:
Da $M [mm] \subset [/mm] Lin(M)$ nach Definition, gilt: $Lin(M) [mm] \subset [/mm] Lin(Lin(M))$.
$Lin(Lin(M)) [mm] \subset [/mm] Lin(M)$:
Vielleicht kann man über die Definition der linearen Hülle argumentieren. Auf jeden Fall sollte der Beweis aber möglich sein, indem man eine Darstellung von $x [mm] \in [/mm] Lin(Lin(M))$ als Linearkombination von Elementen von $M$ findet.
> Im Prinzip ist es doch eine
> Linearkombination einer Linearkombination von Vektoren aus
> M.
Ja. Jedes Element aus $Lin(Lin(M))$ läßt sich darstellen als Linearkombination von Elementen des kleinsten Teilraumes, der M enthält.
Viele Grüße
Astrid
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