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| Aufgabe | Es sei [mm] \gamma [/mm] eine lineare Isometrie eines 4 dimensionalen euklidischen Vektorraumes mit Determinate 1.
Zeigen Sie, dass es reele Zahlen a,b gibt, sodass das characteristische Polynom von [mm] \gamma [/mm] das folgende Polynom ist
[mm] X^4+aX^3+bX^2+aX+1 [/mm] |
Das Thema Isometrien wurde in der Vorlesung leider ein bisschen an Schluss gequetscht und nur so halbherzig behandelt. Dadurch hab ich jetzt keine Ahnung wie ich an so eine Aufgabe herangehen soll. Kann mir da jemand behilflich sein?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Di 16.09.2014 | | Autor: | hippias |
Ohne naehere Informationen, was genau Du bisher wissen sollst, wuerde ich Dich bitten die Definition einer Isometrie mitzuteilen und Deine Vermutung, wie das Charakteristische Polynom eines beliebigen Endomorphismuses eines $4$-dimensionalen Vektorraumes aussieht.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Di 16.09.2014 | | Autor: | Infonerd |
Ok,
Isometrie: V,W seien normierte Vektorräume. Eine Abbildung von V--> W ist eine Isometrie wenn ||f(x) - f(y)|| = ||x-y||
eine lineare Isometrie f element End(V) lässt sich immer als Kompositionen von höchstens n Spiegelungen darstellen wenn v euklidischer Vektorraum ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Di 16.09.2014 | | Autor: | hippias |
Alles klar. Und jetzt bitte noch meine Frage hinsichtlich des charakteristischen Polynoms beantworten.
Versuche auch die Isometriebedingung mit Hilfe des Skalarproduktes auszudruecken und finde einen Zusammenhang zwischen der Matrixdarstellung $A$ von $f$ und [mm] $A^{-1}$ [/mm] und der transponierten [mm] $A^{t}$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Di 16.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Da die lineare Isometrie [mm] \gamma [/mm] ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Raumes V ist, ist [mm] \gamma [/mm] bijektiv. Ist [mm] \gamma^{\star} [/mm] die zu [mm] \gamma [/mm] gehörige adjungierte Abbildung, so gilt:
[mm] $\gamma^{\star} \circ \gamma= \gamma \circ \gamma^{\star} =id_V$.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 20.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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